Uma esfera sólida e um cilindro sólido de mesma massa e diâmetro são liberados do repouso do topo de uma rampa. Eles rolam sem deslizar. Qual dos dois objetos terá a maior aceleração tangencial no final da rampa?
( ) A esfera
( ) O cilindro
( ) Ambos terão mesma aceleração.
( ) A esfera
( ) O cilindro
( ) Ambos terão mesma aceleração.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma esfera sólida e um cilindro sólido com a mesma massa e diâmetro que são liberados do topo de uma rampa, rolando sem deslizar. A pergunta é: qual dos dois objetos terá a maior aceleração tangencial no final da rampa? Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre movimento de rotação e como a distribuição de massa afeta a aceleração de objetos rolando.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando um objeto rola sem deslizar, sua aceleração tangencial depende tanto da força gravitacional quanto de como a massa está distribuída ao redor do eixo de rotação. Isso é descrito pela inércia rotacional, que é diferente para cada forma geométrica.
Passo 3
A inércia rotacional (I) para um objeto depende da sua forma. Para uma esfera sólida, a inércia rotacional é:
E para um cilindro sólido, é:
Aqui, $ m $ é a massa e $ r $ é o raio.
Passo 4
A aceleração tangencial ($ a $) pode ser encontrada usando a fórmula:
Onde:
- $ g $ é a aceleração da gravidade,
- $ \theta $ é o ângulo da rampa,
- $ I $ é a inércia rotacional do objeto.
Passo 5
Vamos calcular o denominador para ambos os objetos.
Para a esfera:
Para o cilindro:
Passo 6
Agora, plugamos esses valores na fórmula da aceleração tangencial.
Para a esfera:
Para o cilindro:
Passo 7
Comparando as duas acelerações:
Porque $ \frac{5}{7} \approx 0,714 $ é maior que $ \frac{2}{3} \approx 0,666 $.
Resposta
A esfera terá a maior aceleração tangencial no final da rampa.