Uma esfera sólida e um cilindro sólido de mesma massa e diâmetro são liberados do repouso do topo de uma rampa. Eles rolam sem deslizar. Qual dos dois objetos terá a maior aceleração tangencial no final da rampa?
( ) A esfera
( ) O cilindro
( ) Ambos terão mesma aceleração.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma esfera sólida e um cilindro sólido com a mesma massa e diâmetro que são liberados do topo de uma rampa, rolando sem deslizar. A pergunta é: qual dos dois objetos terá a maior aceleração tangencial no final da rampa? Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre movimento de rotação e como a distribuição de massa afeta a aceleração de objetos rolando.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando um objeto rola sem deslizar, sua aceleração tangencial depende tanto da força gravitacional quanto de como a massa está distribuída ao redor do eixo de rotação. Isso é descrito pela inércia rotacional, que é diferente para cada forma geométrica.

Passo 3

A inércia rotacional (I) para um objeto depende da sua forma. Para uma esfera sólida, a inércia rotacional é:
Iesfera = 25 m r^2
E para um cilindro sólido, é:
Icilindro = 12 m r^2
Aqui, $ m $ é a massa e $ r $ é o raio.

Passo 4

A aceleração tangencial ($ a $) pode ser encontrada usando a fórmula:
a
Onde:
  • $ g $ é a aceleração da gravidade,
  • $ \theta $ é o ângulo da rampa,
  • $ I $ é a inércia rotacional do objeto.

Passo 5

Vamos calcular o denominador para ambos os objetos.
Para a esfera:
1 + Im r^2 = 1 + 25 m r^2m r^2 = 1 + 25 = 75
Para o cilindro:
1 + Im r^2 = 1 + 12 m r^2m r^2 = 1 + 12 = 32

Passo 6

Agora, plugamos esses valores na fórmula da aceleração tangencial.
Para a esfera:
aesfera = g sin(theta)75 = 57 g sin(theta)
Para o cilindro:
acilindro = g sin(theta)32 = 23 g sin(theta)

Passo 7

Comparando as duas acelerações:
57 g sin(theta) > 23 g sin(theta)
Porque $ \frac{5}{7} \approx 0,714 $ é maior que $ \frac{2}{3} \approx 0,666 $.

Resposta

A esfera terá a maior aceleração tangencial no final da rampa.

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