G: A distância entre os centros de uma esfera de chumbo de 200 g e uma esfera de chumbo de 800 g é de 0,120 m. Um objeto de 1,00 g é colocado 0,0800 m do centro da esfera de 800 g ao longo da linha juntando os centros das duas esferas. Determine a energia potencial gravitacional por grama na posição do objeto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas esferas de chumbo com massas de 200 g e 800 g, cujos centros estão separados por 0,120 metros. Um objeto de 1,00 g é colocado a 0,0800 metros do centro da esfera de 800 g, ao longo da linha que une os centros das duas esferas. A gente precisa descobrir qual é a energia potencial gravitacional por grama na posição desse objeto. Para resolver isso, vamos precisar entender de energia potencial gravitacional e como calcular a contribuição de cada esfera nessa energia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial gravitacional $ U $ entre duas massas é dada pela fórmula:
U
Onde:
  • $ G $ é a constante gravitacional $ 6,67430 \times 10^{-11} , m3,\text{kg}{-1},s^{-2} $
  • $ m_1 $ e $ m_2 $ são as massas das duas esferas
  • $ r $ é a distância entre os centros das duas massas

Passo 3

No nosso caso, queremos encontrar a energia potencial por grama no ponto onde o objeto está colocado. Isso significa que precisamos calcular a contribuição gravitacional de cada esfera no ponto de 0,0800 m do centro da esfera de 800 g.
Primeiro, vamos converter todas as massas para quilogramas:
m1 = 200 , g = 0,200 , kg
m2 = 800 , g = 0,800 , kg
mobj = 1,00 , g = 0,001 , kg

Passo 4

Agora, vamos calcular as distâncias individuais do objeto para cada esfera. Sabemos que a distância total entre os centros é 0,120 m e o objeto está a 0,0800 m do centro da esfera de 800 g. Portanto, a distância do objeto para a esfera de 200 g será:
r1 = 0,120 , m - 0,0800 , m = 0,0400 , m
E a distância para a esfera de 800 g é:
r2 = 0,0800 , m

Passo 5

Vamos calcular a energia potencial gravitacional de cada esfera no ponto onde o objeto está:
Para a esfera de 200 g:
U1 = -G m1 mobjr1 = -6,67430 times 10^-11 0,200 times 0,0010,0400 = -3,33715 times 10^-12 , J
Para a esfera de 800 g:
U2 = -G m2 mobjr2 = -6,67430 times 10^-11 0,800 times 0,0010,0800 = -6,67430 times 10^-12 , J

Passo 6

A energia potencial total no ponto é a soma das energias de cada esfera:
Utotal = U1 + U2 = -3,33715 times 10^-12 + (-6,67430 times 10^-12) = -1,001145 times 10^-11 , J
Como queremos a energia potencial por grama, já que o objeto tem 1,00 g, a energia por grama é simplesmente:
Upor grama = Utotalmobj = -1,001145 times 10^-110,001 = -1,001145 times 10^-8 , J/g

Resposta

A energia potencial gravitacional por grama na posição do objeto é aproximadamente -1,00 times 10^-8 , J/g.

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