G: A distância entre os centros de uma esfera de chumbo de 200 g e uma esfera de chumbo de 800 g é de
. Um objeto de
é colocado
do centro da esfera de 800 g ao longo da linha juntando os centros das duas esferas. Determine a energia potencial gravitacional por grama na posição do objeto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre duas esferas de chumbo com massas de 200 g e 800 g, cujos centros estão separados por 0,120 metros. Um objeto de 1,00 g é colocado a 0,0800 metros do centro da esfera de 800 g, ao longo da linha que une os centros das duas esferas. A gente precisa descobrir qual é a energia potencial gravitacional por grama na posição desse objeto. Para resolver isso, vamos precisar entender de energia potencial gravitacional e como calcular a contribuição de cada esfera nessa energia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial gravitacional $ U $ entre duas massas é dada pela fórmula:
Onde:
- $ G $ é a constante gravitacional $ 6,67430 \times 10^{-11} , m3,\text{kg}{-1},s^{-2} $
- $ m_1 $ e $ m_2 $ são as massas das duas esferas
- $ r $ é a distância entre os centros das duas massas
Passo 3
No nosso caso, queremos encontrar a energia potencial por grama no ponto onde o objeto está colocado. Isso significa que precisamos calcular a contribuição gravitacional de cada esfera no ponto de 0,0800 m do centro da esfera de 800 g.
Primeiro, vamos converter todas as massas para quilogramas:
Passo 4
Agora, vamos calcular as distâncias individuais do objeto para cada esfera. Sabemos que a distância total entre os centros é 0,120 m e o objeto está a 0,0800 m do centro da esfera de 800 g. Portanto, a distância do objeto para a esfera de 200 g será:
E a distância para a esfera de 800 g é:
Passo 5
Vamos calcular a energia potencial gravitacional de cada esfera no ponto onde o objeto está:
Para a esfera de 200 g:
Para a esfera de 800 g:
Passo 6
A energia potencial total no ponto é a soma das energias de cada esfera:
Como queremos a energia potencial por grama, já que o objeto tem 1,00 g, a energia por grama é simplesmente:
Resposta
A energia potencial gravitacional por grama na posição do objeto é aproximadamente
.