Uma corda esticada tem uma massa específica linear de 2,5 g / cm e está sujeita a uma tensão de 100 N . Uma onda senoidal na corda tem uma amplitude de 0,10 mm, uma frequência de 200 Hz e está se propagando no sentido negativo de um eixo x. Quais os valores do comprimento de onda, do número de onda e da frequência angular associados a essa onda?

Passo 1

Vamos começar entendendo a questão. Temos uma corda com massa específica linear de 2,5 , g/cm e uma tensão de 100 , N. Nessa corda, está se propagando uma onda senoidal com amplitude de 0,10 , mm e frequência de 200 , Hz. Nosso objetivo é encontrar três coisas: o comprimento de onda ( lambda), o número de onda ( k) e a frequência angular ( omega) dessa onda.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de ondas mecânicas, como a velocidade de propagação da onda, a relação entre frequência e comprimento de onda, e as fórmulas que relacionam essas grandezas.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a massa específica linear para unidades consistentes. A massa específica linear ( mu) é dada em gramas por centímetro ( 2,5 , g/cm). Vamos converter para $ kg/m$:
kg/m

Passo 3

Agora, vamos calcular a velocidade de propagação da onda ( v) na corda. A velocidade de uma onda em uma corda é dada pela fórmula:
v = raizTmu
Onde:
  • T é a tensão na corda ( 100 , N)
  • mu é a massa específica linear ( 0,25 , kg/m)
Substituindo os valores:
v = raiz1000,25 = raiz400 = 20 , m/s

Passo 4

Com a velocidade da onda ( v) conhecida, podemos encontrar o comprimento de onda ( lambda) usando a relação entre velocidade, frequência ( f) e comprimento de onda:
v = lambda times f
Queremos encontrar lambda, então rearranjamos a fórmula:
lambda = vf
Sabendo que v = 20 , m/s e f = 200 , Hz:
lambda = 20200 = 0,1 , m = 10 , cm

Passo 5

Agora, vamos calcular o número de onda ( k). O número de onda está relacionado ao comprimento de onda pela fórmula:
k = 2pilambda
Já temos lambda = 0,1 , m, então:
k = 2pi0,1 = 20pi , rad/m approx 62,83 , rad/m

Passo 6

Por fim, vamos encontrar a frequência angular ( omega). A frequência angular está relacionada à frequência ( f) pela fórmula:
omega = 2pi f
Com f = 200 , Hz:
omega = 2pi times 200 = 400pi , rad/s approx 1256,64 , rad/s

Resposta

O comprimento de onda é 0,1 , m, o número de onda é aproximadamente 62,83 , rad/m e a frequência angular é aproximadamente 1256,64 , rad/s.

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