Uma particula tem um vetor posição dado por r(t)=(30 t) imath+(40 t-5 t^2) jmath, onder está em metros e t em segundos.
a) Encontre os vetores velocidade instantânea e aceleração instantânea como função do tempo t.
b) Calcule os vetores posição, velocidade e aceleração para t=3,0 s.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a posição de uma partícula descrita pelo vetor r(t) = (30 t) imath + (40 t - 5 t^2) jmath, onde t é o tempo em segundos e as posições estão em metros. O conteúdo que vamos usar aqui é a cinemática vetorial, especificamente como derivar a posição para encontrar velocidade e aceleração. Precisamos aplicar derivadas para resolver os itens a) e b).

Passo 2

Primeiro, vamos resolver o item a), que pede para encontrar os vetores de velocidade instantânea e aceleração instantânea em função do tempo t. Para isso, vamos lembrar que:
  • Velocidade instantânea ( v(t)) é a derivada da posição em relação ao tempo.
  • Aceleração instantânea ( a(t)) é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição.

Passo 3

Vamos encontrar a velocidade instantânea v(t). Diferenciando cada componente de r(t) em relação ao tempo t:
v(t) = dr(t)dt = ddt(30 t imath + (40 t - 5 t^2) jmath)
Calculando a derivada:
v(t) = 30 imath + (40 - 10 t) jmath

Passo 4

Agora, vamos encontrar a aceleração instantânea a(t). Diferenciando a velocidade em relação ao tempo t:
a(t) = dv(t)dt = ddt(30 imath + (40 - 10 t) jmath)
Calculando a derivada:
a(t) = 0 imath - 10 jmath
Isso significa que a aceleração é constante e só age na direção jmath.

Passo 5

Agora, vamos para o item b), que pede para calcular os vetores posição, velocidade e aceleração para t = 3,0 s.
Primeiro, a posição:
r(3) = 30 times 3 imath + (40 times 3 - 5 times 3^2) jmath = 90 imath + (120 - 45) jmath = 90 imath + 75 jmath

Passo 6

Agora, a velocidade no instante t = 3,0 s:
v(3) = 30 imath + (40 - 10 times 3) jmath = 30 imath + (40 - 30) jmath = 30 imath + 10 jmath

Passo 7

Por fim, a aceleração no instante t = 3,0 s. Como vimos anteriormente, a aceleração é constante:
a(3) = 0 imath - 10 jmath

Resposta

a) A velocidade instantânea é v(t) = 30 imath + (40 - 10 t) jmath e a aceleração instantânea é a(t) = -10 jmath.
b) Para t = 3,0 s:
  • Vetor posição: r(3) = 90 imath + 75 jmath metros
  • Vetor velocidade: v(3) = 30 imath + 10 jmath metros por segundo
  • Vetor aceleração: a(3) = -10 jmath metros por segundo ao quadrado

Exercícios relacionados