Uma particula tem um vetor posição dado por
, onder está em metros e
em segundos.
a) Encontre os vetores velocidade instantânea e aceleração instantânea como função do tempo
.
b) Calcule os vetores posição, velocidade e aceleração para
.
a) Encontre os vetores velocidade instantânea e aceleração instantânea como função do tempo
b) Calcule os vetores posição, velocidade e aceleração para
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a posição de uma partícula descrita pelo vetor
, onde
é o tempo em segundos e as posições estão em metros. O conteúdo que vamos usar aqui é a cinemática vetorial, especificamente como derivar a posição para encontrar velocidade e aceleração. Precisamos aplicar derivadas para resolver os itens a) e b).
Passo 2
Primeiro, vamos resolver o item a), que pede para encontrar os vetores de velocidade instantânea e aceleração instantânea em função do tempo
. Para isso, vamos lembrar que:
- Velocidade instantânea (
) é a derivada da posição em relação ao tempo. - Aceleração instantânea (
) é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição.
Passo 3
Vamos encontrar a velocidade instantânea
. Diferenciando cada componente de
em relação ao tempo
:
Calculando a derivada:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a aceleração instantânea
. Diferenciando a velocidade em relação ao tempo
:
Calculando a derivada:
Isso significa que a aceleração é constante e só age na direção
.
Passo 5
Agora, vamos para o item b), que pede para calcular os vetores posição, velocidade e aceleração para
.
Primeiro, a posição:
Passo 6
Agora, a velocidade no instante
:
Passo 7
Por fim, a aceleração no instante
. Como vimos anteriormente, a aceleração é constante:
Resposta
a) A velocidade instantânea é
e a aceleração instantânea é
.
b) Para
:
- Vetor posição:
metros - Vetor velocidade:
metros por segundo - Vetor aceleração:
metros por segundo ao quadrado