A velocidade de um carrinho de brinquedo é dado por
, sendo
medido em centímetros e
medido em segundos. Sabe-se que o carrinho se apresenta na origem dos espaços quando
. Determine © a velocidade do carrinho quando sua aceleração se anula.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a velocidade de um carrinho de brinquedo dada por $ v(t) = 2t(3t - t^2) $, onde $ x $ está em centímetros e $ t $ em segundos. A questão pede para a gente descobrir qual é a velocidade do carrinho quando a aceleração dele é igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar entender de cálculo, especificamente de derivadas, já que aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a aceleração do carrinho. A aceleração $ a(t) $ é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, precisamos derivar a função $ v(t) $.
Dada:
Vamos simplificar a expressão antes de derivar:
Agora, derivando em relação a $ t $:
Passo 3
Agora que temos a expressão da aceleração, vamos encontrar quando ela se anula, ou seja, quando $ a(t) = 0 $:
Vamos resolver essa equação:
Primeiro, fatoramos:
Isso nos dá duas soluções:
Então, a aceleração é zero nos instantes $ t = 0 $ e $ t = 2 $ segundos.
Passo 4
A questão quer saber a velocidade quando a aceleração é zero. Já sabemos que isso acontece em $ t = 0 $ e $ t = 2 $ segundos. Vamos calcular $ v(t) $ nesses tempos.
Para $ t = 0 $:
Para $ t = 2 $:
Resposta
Quando a aceleração do carrinho se anula, a velocidade dele é de $ 0 , cm/s $ em $ t = 0 $ segundos e $ 8 , cm/s $ em $ t = 2 $ segundos.