Uma corda fixa nas duas extremidades oscila no
modo normal com frequência
quando submetido à uma tensão de 6 N . Qual deve ser a tensão para que o modo fundamental oscile com a mesma frequência
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma corda fixa nas duas extremidades que está vibrando no segundo modo normal com uma frequência f quando a tensão na corda é de 6 N. A pergunta é: qual deve ser a tensão para que o modo fundamental (primeiro modo normal) oscile com a mesma frequência f. Ou seja, queremos ajustar a tensão da corda para que a vibração no modo mais básico tenha a frequência desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como a frequência de vibração de uma corda depende da tensão e do modo de vibração. A fórmula geral para a frequência f_n do enésimo modo é:
Onde:
- n é o número do modo (1 para o fundamental, 2 para o segundo modo, etc.),
- L é o comprimento da corda,
- T é a tensão na corda,
- μ é a massa linear da corda.
Passo 3
No segundo modo normal (n = 2) com tensão de 6 N, a frequência é f. Podemos escrever a equação:
Passo 4
Queremos que o modo fundamental (n = 1) tenha a mesma frequência f. A equação para o primeiro modo é:
Passo 5
Agora, vamos igualar as duas expressões para f:
Podemos simplificar ambos os lados multiplicando por L:
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
Passo 7
Simplificando a equação:
Como μ é constante e diferente de zero, podemos cancelar μ dos dois lados:
Resposta
A tensão necessária para que o modo fundamental oscile com a mesma frequência f é 24 N.