Uma corda fixa nas duas extremidades oscila no 2^circ modo normal com frequência f quando submetido à uma tensão de 6 N . Qual deve ser a tensão para que o modo fundamental oscile com a mesma frequência f.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma corda fixa nas duas extremidades que está vibrando no segundo modo normal com uma frequência f quando a tensão na corda é de 6 N. A pergunta é: qual deve ser a tensão para que o modo fundamental (primeiro modo normal) oscile com a mesma frequência f. Ou seja, queremos ajustar a tensão da corda para que a vibração no modo mais básico tenha a frequência desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como a frequência de vibração de uma corda depende da tensão e do modo de vibração. A fórmula geral para a frequência f_n do enésimo modo é:
fn = n cdot 12L raizTmu
Onde:
  • n é o número do modo (1 para o fundamental, 2 para o segundo modo, etc.),
  • L é o comprimento da corda,
  • T é a tensão na corda,
  • μ é a massa linear da corda.

Passo 3

No segundo modo normal (n = 2) com tensão de 6 N, a frequência é f. Podemos escrever a equação:
f = 2 cdot 12L raiz6mu = 1L raiz6mu

Passo 4

Queremos que o modo fundamental (n = 1) tenha a mesma frequência f. A equação para o primeiro modo é:
f = 1 cdot 12L raizTnovomu = 12L raizTnovomu

Passo 5

Agora, vamos igualar as duas expressões para f:
1L raiz6mu = 12L raizTnovomu
Podemos simplificar ambos os lados multiplicando por L:
raiz6mu = 12 raizTnovomu

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar a fração:
2 cdot raiz6mu = raizTnovomu
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
4 cdot 6mu = Tnovomu

Passo 7

Simplificando a equação:
24mu = Tnovomu
Como μ é constante e diferente de zero, podemos cancelar μ dos dois lados:
24 = Tnovo

Resposta

A tensão necessária para que o modo fundamental oscile com a mesma frequência f é 24 N.

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