Uma onda progressiva tem equação:
y=9 sin (2 pi x-4 pi)
Qual a velocidade de grupo da onda?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a equação de uma onda progressiva:
y = 9 sin (2 pi x - 4 pi)
O que precisamos descobrir é a velocidade de grupo dessa onda. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre ondas progressivas e como calcular a velocidade de grupo usando as fórmulas apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da equação da onda. A equação geral de uma onda progressiva pode ser escrita como:
y = A sin (kx - omega t)
onde:
  • $ A $ é a amplitude da onda,
  • $ k $ é o número de onda,
  • $ \omega $ é a frequência angular,
  • $ t $ é o tempo.
No nosso caso, a equação é:
A
Aqui, percebemos que não há termo de tempo ($ t $), o que sugere que esta é uma onda estacionária. Entretanto, para calcular a velocidade de grupo, precisamos considerar a relação entre $ k $ e $ \omega $.

Passo 3

Para calcular a velocidade de grupo ($ v_g $), usamos a fórmula:
vg
Isso significa que precisamos expressar $ \omega $ em função de $ k $ e depois derivar uma em relação à outra.

Passo 4

Vamos identificar $ k $ e $ \omega $ na equação dada. Comparando com a forma geral:
k
omega
Agora, precisamos entender como $ \omega $ varia com $ k $. Se considerarmos uma relação linear, podemos escrever:
k = 2 pi
onde $ v_p $ é a velocidade de fase.

Passo 5

Substituindo os valores que encontramos:
4 pi = vp cdot 2 pi
Resolvendo para $ v_p $:
vp
Neste caso, como a relação é linear, a derivada de $ \omega $ em relação a $ k $ será constante e igual a $ v_p $.

Passo 6

Então, a velocidade de grupo $ v_g $ é:
vg

Resposta

A velocidade de grupo da onda é de 2 metros por segundo.

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