Uma corda de \mathbf{1 0 , 0} \mathbf{~ m} de comprimento é presa em uma de suas extremidades, enquanto a outra se mantém livre para se mover verticalmente. Ao ser perturbada verticalmente, a corda gera um padrão de ondas estacionárias, que é a superposição das ondas que caminham para a direita e para a esquerda. A onda que se propaga para a direita (+x) é dada pela função y_{1}(x, t)=0,015 \sin \left(5 \pi t-\frac{\pi}{4} x\right) e para esquerda possui as mesmas características, porém com a direção espacial invertida (-x). Considere que todas as variáveis e constantes estão no S.I.
a) Usando uma identidade trigonométrica, mostre que a função de onda do padrào estacionário possui as contribuições espacial e temporal independentes.

Passo 1

O enunciado trata de uma corda de comprimento 10{,}0 m com uma extremidade presa e outra livre, onde se formam ondas estacionárias pela superposição de duas ondas viajantes idênticas em amplitude e frequência: uma desloca-se para +x e a outra para -x. Vamos usar o fato de que, se
y_{1}(x,t)=A\sin\bigl(\omega t - kx\bigr) \quad\text{e}\quad y_{2}(x,t)=A\sin\bigl(\omega t + kx\bigr),
então a soma y=y_{1}+y_{2} pode ser escrita de forma separável em variáveis espaciais e temporais usando uma identidade trigonométrica.

Passo 2

Identificamos os parâmetros fornecidos:
A=0{,}015,\quad \omega=5\pi,\quad k=\frac{\pi}{4}.
A onda para a esquerda é
y_{2}(x,t) =0{,}015\;\sin\!\Bigl(5\pi t + \frac{\pi}{4}x\Bigr).

Passo 3

Formamos a superposição das duas ondas:
y(x,t) =y_{1}(x,t)+y_{2}(x,t) =0{,}015\sin\!\Bigl(5\pi t - \tfrac{\pi}{4}x\Bigr) +0{,}015\sin\!\Bigl(5\pi t + \tfrac{\pi}{4}x\Bigr).

Passo 4

Aplicamos a identidade de soma de senos:
\sin a+\sin b =2\sin\!\Bigl(\tfrac{a+b}{2}\Bigr)\cos\!\Bigl(\tfrac{a-b}{2}\Bigr).
Aqui a=5\pi t - \tfrac{\pi}{4}x e b=5\pi t + \tfrac{\pi}{4}x. Logo,
\frac{a+b}{2} =\frac{(5\pi t - \tfrac{\pi}{4}x)+(5\pi t + \tfrac{\pi}{4}x)}{2} =5\pi t,
\frac{a-b}{2} =\frac{(5\pi t - \tfrac{\pi}{4}x)-(5\pi t + \tfrac{\pi}{4}x)}{2} =-\frac{\pi}{4}x,
e como \cos(-\theta)=\cos\theta, resulta
y(x,t) =0{,}015\cdot 2\,\sin(5\pi t)\,\cos\!\Bigl(\tfrac{\pi}{4}x\Bigr).

Passo 5

Simplificando o fator 2\cdot0{,}015=0{,}03, obtemos a forma separável
y(x,t) =0{,}03\,\sin(5\pi t)\,\cos\!\Bigl(\tfrac{\pi}{4}x\Bigr),
que mostra claramente a dependência temporal ( \sin(5\pi t)) e espacial ( \cos(\tfrac{\pi}{4}x)) independentes.

Resposta

y(x,t) =0{,}03\,\sin\bigl(5\pi t\bigr)\,\cos\!\Bigl(\tfrac{\pi}{4}x\Bigr).

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