Uma corda de
de comprimento é presa em uma de suas extremidades, enquanto a outra se mantém livre para se mover verticalmente. Ao ser perturbada verticalmente, a corda gera um padrão de ondas estacionárias, que é a superposição das ondas que caminham para a direita e para a esquerda. A onda que se propaga para a direita
é dada pela função
e para esquerda possui as mesmas características, porém com a direção espacial invertida
. Considere que todas as variáveis e constantes estão no S.I.
a) Usando uma identidade trigonométrica, mostre que a função de onda do padrào estacionário possui as contribuições espacial e temporal independentes.
a) Usando uma identidade trigonométrica, mostre que a função de onda do padrào estacionário possui as contribuições espacial e temporal independentes.
Passo 1
O enunciado trata de uma corda de comprimento
m com uma extremidade presa e outra livre, onde se formam ondas estacionárias pela superposição de duas ondas viajantes idênticas em amplitude e frequência: uma desloca-se para
e a outra para
. Vamos usar o fato de que, se
então a soma
pode ser escrita de forma separável em variáveis espaciais e temporais usando uma identidade trigonométrica.
Passo 2
Identificamos os parâmetros fornecidos:
A onda para a esquerda é
Passo 3
Formamos a superposição das duas ondas:
Passo 4
Aplicamos a identidade de soma de senos:
Aqui
e
. Logo,
e como
, resulta
Passo 5
Simplificando o fator
, obtemos a forma separável
que mostra claramente a dependência temporal (
) e espacial (
) independentes.