Questão 6. Em uma região existe uma densidade de corrente uniforme de 15 \mathrm{~A} / \mathrm{m}^{2} no sentido positivo do eixo z. Determine o valor de \oint \overrightarrow{\mathbf{B}} \cdot d \overrightarrow{\mathbf{l}} se a integral de linha for calculada para o percurso fechado formado por três segmentos de reta, de (4d, 0, 0) para (4d, 3d, 0), de (4d, 3d, 0) para ( 0,0,0 ) e de ( 0,0,0 ) para ( 4 \mathrm{~d}, 0, 0 ), com \mathrm{d}=20 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado diz que há uma densidade de corrente uniforme \,J=15\\ \text{A/m}^2 apontando no sentido positivo de z. Precisamos calcular
\displaystyle \oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}
ao longo de um contorno triangular no plano z=0. Vamos usar a Lei de Ampère, que relaciona essa integral ao total de corrente I_{\rm encl} atravessando qualquer superfície cujo contorno seja esse triângulo:
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} = \mu_{0}\,I_{\rm encl}.

Passo 2

Escolhemos como superfície qualquer superfície plana em z=0 delimitada pelo triângulo com vértices (4d,0,0), (4d,3d,0) e (0,0,0). Como a densidade de corrente está ao longo de z, só depende da área projetada no plano xy. Precisamos então da área desse triângulo.

Passo 3

Para achar a área, note que a base pode ser o segmento de (0,0) a (4d,0), de comprimento 4d, e a altura é a distância vertical até o ponto (4d,3d), que é 3d. Logo,
\text{Área} = \tfrac12 \times (4d)\times(3d) = 6\,d^{2}.Á

Passo 4

A corrente total que atravessa essa superfície é a densidade vezes a área:
I_{\rm encl} = J \times \text{Área} = 15\\ \frac{\text{A}}{\text{m}^2}\;\times\;6\,d^2 = 90\,d^2\\ \text{A}.Á

Passo 5

Aplicando a Lei de Ampère:
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} = \mu_{0}\,I_{\rm encl} = \mu_{0}\times 90\,d^2.
Substituindo d=0{,}20\\ \text{m}:
d^2 = 0{,}20^2 = 0{,}04\\ \text{m}^2 \quad\Longrightarrow\quad \oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} = 90\,\mu_{0}\times0{,}04 = 3{,}6\,\mu_{0}.
Como \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \text{H/m}, temos
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} = 3{,}6\times4\pi\times10^{-7} =1{,}44\,\pi\times10^{-6}\\ \text{(SI)}\approx4{,}52\times10^{-6}.

Resposta

\displaystyle \oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} = \mu_{0}\,90\,d^2 = 3{,}6\,\mu_{0} \approx4{,}52\times10^{-6}.

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