Uma corda de \mathbf{1 0 , 0 ~ m} de comprimento é presa em uma de suas extremidades, enquanto a outra se mantém livre para se mover verticalmente. Ao ser perturbada verticalmente, a corda gera um padrão de ondas estacionárias, que é a superposição das ondas que caminham para a direita e para a esquerda. A onda que se propaga para a direita (+x) é dada pela função y_{1}(x, t)=0,015 \sin \left(5 \pi t-\frac{\pi}{4} x\right) e para esquerda possui as mesmas características, porém com a direção espacial invertida (-x). Considere que todas as variáveis e constantes estão no S.I.
a) Usando uma identidade trigonométrica, mostre que a função de onda do padrão estacionário possui as contribuições espacial e temporal independentes.
b) Determine o comprimento (\boldsymbol{\lambda}), a frequência (\boldsymbol{f}) e a velocidade (\boldsymbol{v}) de onda estacionária? Qual é a distância entre os nós dessa onda?
c) Dadas as condições do problema, a corda oscila em qual harmônico ( n )? Demostre.
d) Determine a máxima velocidade da corda nas distâncias de \mathbf{1 , 0 ~ m , 2 , 0 ~ m ~ e 4 , 0 ~ m}.

Passo 1

O enunciado trata de uma corda de comprimento L=10{,}0\\ \mathrm{m}, presa em x=0 (nó) e livre em x=L (ventre). As ondas viajantes são
y_{1}(x,t)=0,015\sin\bigl(5\pi t-\tfrac{\pi}{4}x\bigr)
para a direita e
y_{2}(x,t)=0,015\sin\bigl(5\pi t+\tfrac{\pi}{4}x\bigr)
para a esquerda.
Conteúdo: formação de ondas estacionárias, uso de identidade trigonométrica, relações entre k,\\ \omega,\\ \lambda,\\ f,\\ v, condições de contorno (nó e ventre) e cálculo de velocidades transversais.

Passo 2

Somando y=y_{1}+y_{2} e usando
\sin A+\sin B = 2\sin\!\bigl(\tfrac{A+B}{2}\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{A-B}{2}\bigr),
com A=5\pi t-\tfrac{\pi}{4}x e B=5\pi t+\tfrac{\pi}{4}x, obtemos
y(x,t) =2\cdot0,015\;\sin(5\pi t)\;\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}x\bigr) =0,03\,\sin(5\pi t)\,\cos\bigl(\tfrac{\pi}{4}x\bigr).
Aqui a parte temporal \sin(5\pi t) e a espacial \cos(\tfrac{\pi}{4}x) aparecem separadamente.

Passo 3

Para a onda viajante temos número de onda
k=\tfrac{\pi}{4}\quad\Rightarrow\quad k=\tfrac{2\pi}{\lambda} \quad\Longrightarrow\quad \lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{\pi/4}=8\\ \mathrm{m}.
A pulsação é \omega=5\pi, logo
\omega=2\pi f \quad\Longrightarrow\quad f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{5\pi}{2\pi}=2{,}5\\ \mathrm{Hz}.
A velocidade de onda é
v=f\,\lambda=2{,}5\times8=20\\ \mathrm{m/s}.
Os nós satisfazem \cos(kx)=0\Rightarrow kx=(2m+1)\frac{\pi}{2}, então a separação entre nós é
\Delta x=\frac{\pi}{k}=\frac{\pi}{\pi/4}=4\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Num extremo fixo há nó ( x=0) e no extremo livre há ventre ( x=L), portanto as condições são
L=(2n-1)\frac{\lambda}{4}.
Como L=10\\ \mathrm{m} e \lambda=8\\ \mathrm{m},
10=(2n-1)\frac{8}{4}\quad\Longrightarrow\quad 10=2(2n-1)\quad\Longrightarrow\quad2n-1=5\quad\Longrightarrow\quad n=3.
É o terceiro harmônico.

Passo 5

A velocidade transversal é
v_{y}(x,t)=\frac{\partial y}{\partial t} =0,03\,(5\pi)\,\cos(5\pi t)\,\cos\bigl(\tfrac{\pi}{4}x\bigr) =0,15\pi\;\cos(5\pi t)\,\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}x\bigr).
O máximo em módulo ocorre quando \cos(5\pi t)=\pm1, então
|v_{y,\max}(x)|=0,15\pi\,\bigl|\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}x\bigr)\bigr|.
Para x=1{,}0\\ \mathrm{m}: \cos(\pi/4)=\tfrac{\sqrt2}{2}
|v_{\max}|=0,15\pi\cdot\tfrac{\sqrt2}{2}\approx0,333\\ \mathrm{m/s}.
Para x=2{,}0\\ \mathrm{m}: \cos(\pi/2)=0 \;\Rightarrow\;|v_{\max}|=0.
Para x=4{,}0\\ \mathrm{m}: \cos(\pi)=-1 \;\Rightarrow\;|v_{\max}|=0,15\pi\approx0,471\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

a)
y(x,t)=y_{1}+y_{2} =0,03\,\sin(5\pi t)\,\cos\Bigl(\tfrac{\pi}{4}x\Bigr),
mostrando a separação entre parte temporal e espacial.
b)
\lambda=8\\ \mathrm{m},\quad f=2{,}5\\ \mathrm{Hz},\quad v=20\\ \mathrm{m/s},\quad\Delta x_{\text{nós}}=4\\ \mathrm{m}.ó
c) A corda vibra no n=3 (terceiro harmônico).
d)
\displaystyle |v_{\max}(1{,}0)|\approx0,333\\ \mathrm{m/s},\quad |v_{\max}(2{,}0)|=0,\quad |v_{\max}(4{,}0)|\approx0,471\\ \mathrm{m/s}.

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