Uma corda de \mathbf{1 0 , 0 ~ m} de comprimento é presa em uma de suas extremidades, enquanto a outra se mantém livre para se mover verticalmente. Ao ser perturbada verticalmente, a corda gera um padrão de ondas estacionárias, que é a superposição das ondas que caminham para a direita e para a esquerda. A onda que se propaga para a direita (+x) é dada pela função y_{1}(x, t)=0,015 \sin \left(5 \pi t-\frac{\pi}{4} x\right) e para esquerda possui as mesmas características, porém com a direção espacial invertida (-x). Considere que todas as variáveis e constantes estão no S.I.
a) Usando uma identidade trigonométrica, mostre que a função de onda do padrão estacionário possui as contribuições espacial e temporal independentes.
b) Determine o comprimento (\boldsymbol{\lambda}), a frequência (\boldsymbol{f}) e a velocidade (\boldsymbol{v}) de onda estacionária? Qual é a distância entre os nós dessa onda?
c) Dadas as condições do problema, a corda oscila em qual harmônico ( n )? Demostre.
d) Determine a máxima velocidade da corda nas distâncias de \mathbf{1 , 0 ~ m , 2 , 0 ~ m ~ e 4 , 0 ~ m}.
Passo 1
O enunciado trata de uma corda de comprimento L=10{,}0\\ \mathrm{m}, presa em x=0 (nó) e livre em x=L (ventre). As ondas viajantes são
para a esquerda.
Conteúdo: formação de ondas estacionárias, uso de identidade trigonométrica, relações entre k,\\ \omega,\\ \lambda,\\ f,\\ v, condições de contorno (nó e ventre) e cálculo de velocidades transversais.
Passo 2
Somando y=y_{1}+y_{2} e usando
\sin A+\sin B = 2\sin\!\bigl(\tfrac{A+B}{2}\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{A-B}{2}\bigr),
com A=5\pi t-\tfrac{\pi}{4}x e B=5\pi t+\tfrac{\pi}{4}x, obtemos
Para x=2{,}0\\ \mathrm{m}: \cos(\pi/2)=0\;\Rightarrow\;|v_{\max}|=0.
Para x=4{,}0\\ \mathrm{m}: \cos(\pi)=-1\;\Rightarrow\;|v_{\max}|=0,15\pi\approx0,471\\ \mathrm{m/s}.