Duas fontes sonoras S_{1} e S_{2} produzem som com mesma frequência, mesma amplitude de pressão e mesmas condições iniciais de fase. Um observador está ligeiramente mais próximo de uma das fontes. As ondas progressivas de pressão são dadas pelas funções p_{1}\left(x_{1}, t\right)=p_{0} \cos \left(\omega t-k x_{1}\right) e p_{2}\left(x_{2}, t\right)=p_{0} \cos \left(\omega t-k x_{2}\right).
a) Use uma identidade trigonométrica (ao final da prova) e determine a função da superposição das duas ondas de pressão p=p_{1}+p_{2}. Note que a amplitude máxima de pressão depende apenas da diferença de caminho \Delta x=x_{2}-x_{1} e do número de onda k.
b) Com base no resultado obtido em (a), qual é a diferença de fase \delta devido à diferença de caminho das duas ondas de pressão? Escreva a expressão, substituindo k=2 \pi / \lambda.
c) Sabe-se que as duas fontes estão às distâncias de \mathbf{4 , 0 0 ~ m ~ e ~} \mathbf{4 , 3 4 ~ m}, respectivamente e que as ondas de pressão possuem velocidade de \mathbf{3 4 0 ~ m} / \mathbf{s} e amplitude \boldsymbol{p}_{0}. Calcule as diferenças de fase para as frequências de (i) 1000 Hz , (ii) 500 Hz e (iii) 250 Hz .
d) Calcule as amplitudes de pressão para cada frequência da no item anterior, em função de \boldsymbol{p}_{0}.

Passo 1

Temos duas ondas planas de pressão idênticas em amplitude e fase, chegando ao mesmo observador a distâncias x_{1} e x_{2}. As expressões são
p_{1}(t)=p_{0}\cos\bigl(\omega t - k x_{1}\bigr), \quad p_{2}(t)=p_{0}\cos\bigl(\omega t - k x_{2}\bigr).
O que nos pedem:
a) Somar p_{1}+p_{2} usando a identidade trigonométrica para \cos A+\cos B.
b) Extrair a diferença de fase \delta em função de \Delta x = x_{2}-x_{1} e k, substituindo depois k=2\pi/\lambda.
c) Para x_{1}=4{,}00 m, x_{2}=4{,}34 m e v=340 m/s, calcular \delta em (i) 1000 Hz, (ii) 500 Hz, (iii) 250 Hz.
d) Calcular a amplitude resultante em cada caso em função de p_{0}.

Passo 2

Aplicamos a identidade
\cos A + \cos B = 2\cos\!\bigl(\tfrac{A+B}{2}\bigr)\,\cos\!\bigl(\tfrac{A-B}{2}\bigr)
com A=\omega t - kx_{1}, B=\omega t - kx_{2}. Assim,
p = p_{1}+p_{2} = p_{0}\bigl[\cos(\omega t - kx_{1})+\cos(\omega t - kx_{2})\bigr]
= 2\,p_{0}\,\cos\!\Bigl(\omega t - k\,\tfrac{x_{1}+x_{2}}{2}\Bigr)\, \cos\!\Bigl(k\,\tfrac{x_{2}-x_{1}}{2}\Bigr).
Daí a amplitude máxima (envelope) depende só de \Delta x = x_{2}-x_{1}:
A_{\max}=2\,p_{0}\,\cos\!\Bigl(\tfrac{k\,\Delta x}{2}\Bigr).

Passo 3

A diferença de fase entre as duas ondas é o argumento de \cos\bigl(\tfrac{A-B}{2}\bigr) multiplicado por 2, ou seja
\delta = k\,(x_{2}-x_{1}) = k\,\Delta x.
Substituindo k=2\pi/\lambda, obtemos
\delta = \frac{2\pi}{\lambda}\,\Delta x.

Passo 4

Dados: \Delta x = 4{,}34 - 4{,}00 = 0{,}34 m e v=340 m/s. Como \lambda = v/f,
\delta = 2\pi\,\frac{\Delta x}{\lambda} = 2\pi\,\frac{f}{v}\,\Delta x.
(i) Para f=1000 Hz:
\delta = 2\pi\,\frac{1000}{340}\,0{,}34 =2\pi\cdot1 = 2\pi\\ \text{rad}.
(ii) Para f=500 Hz:
\delta = 2\pi\,\frac{500}{340}\,0{,}34 =2\pi\cdot0{,}5 = \pi\\ \text{rad}.
(iii) Para f=250 Hz:
\delta = 2\pi\,\frac{250}{340}\,0{,}34 =2\pi\cdot0{,}25 = \tfrac{\pi}{2}\\ \text{rad}.

Passo 5

A amplitude resultante é
A_{\max}=2\,p_{0}\,\cos\!\Bigl(\tfrac{\delta}{2}\Bigr).
(i) \delta=2\pi!:
A_{\max}=2\,p_{0}\,\cos(\pi) = 2\,p_{0}\,(-1) = -2\,p_{0} \quad(\text{módulo }2\,p_{0},\;\text{inversão de fase}).óã
(ii) \delta=\pi!:
A_{\max}=2\,p_{0}\,\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=2\,p_{0}\cdot0=0 \quad(\text{interferência destrutiva total}).ê
(iii) \delta=\tfrac{\pi}{2}!:
A_{\max}=2\,p_{0}\,\cos\!\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) =2\,p_{0}\,\frac{\sqrt2}{2}=\sqrt2\,p_{0}.

Resposta

a)
p = 2\,p_{0}\,\cos\!\Bigl(\omega t - k\,\tfrac{x_{1}+x_{2}}{2}\Bigr)\, \cos\!\Bigl(\tfrac{k\,\Delta x}{2}\Bigr).
b)
\delta = k\,\Delta x = \frac{2\pi}{\lambda}\,\Delta x.
c)
(i) \delta=2\pi rad,
(ii) \delta=\pi rad,
(iii) \delta=\tfrac{\pi}{2} rad.
d)
(i) A_{\max}=-2\,p_{0} (módulo 2p_{0}),
(ii) A_{\max}=0,
(iii) A_{\max}=\sqrt2\,p_{0}.

Exercícios relacionados