Questão 8. Um capacitor de placas paralelas com placas circulares de raio R está sendo carregado. Mostre que o módulo da densidade de corrente da corrente de deslocamento é J_{d}= \epsilon_{0}(d E / d t) para r \leq R.
Questão 9. Um capacitor de placas paralelas com placas circulares de 0,10 \mathrm{~m} de raio está sendo descarregado. Um anel circular com 0,20 \mathrm{~mm} de raio, concêntrico com o capacitor, está a meio caminho entre as placas. A corrente de deslocamento através do anel é de 2,0 \mathrm{~A}. Qual é a taxa de variação do campo elétrico entre as placas?

Passo 1

A questão 8 pede para mostrarmos que, num capacitor de placas paralelas de raio R, a densidade de corrente de deslocamento satisfaz
J_{d}=\epsilon_{0}\,\frac{dE}{dt}\quad\text{para }r\le R.
O conteúdo aqui é a correção de Maxwell à Lei de Ampère, segundo a qual deve-se incluir a corrente de deslocamento
\mathbf{J}_{d}=\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t},
e em vácuo ou ar temos \mathbf{D}=\epsilon_{0}\,\mathbf{E}.
A questão 9 então usa essa densidade para calcular, a partir de uma corrente de deslocamento I_{d} que atravessa um anel de raio a, a taxa dE/dt.

Passo 2

Em vácuo a relação entre \mathbf{D} e \mathbf{E} é
\mathbf{D}=\epsilon_{0}\,\mathbf{E}.
Tomando a derivada temporal, obtemos
\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} =\epsilon_{0}\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.
Mas por definição a densidade de corrente de deslocamento é
\mathbf{J}_{d}=\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t},
logo, em módulo,
J_{d}=\epsilon_{0}\,\frac{dE}{dt},
valendo para todo ponto dentro da área das placas, isto é, para r\le R.

Passo 3

Na questão 9, um anel de raio a=0,20\text{ mm} está no interior do capacitor (portanto a\le R) e a corrente de deslocamento que o atravessa é I_{d}=2{,}0\text{ A}.
Como J_{d} é uniforme no interior das placas, temos
I_{d}=\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{a} J_{d}\,r\,dr\,d\theta =J_{d}\,\bigl(\pi a^{2}\bigr).
Substituindo J_{d}=\epsilon_{0}\,\frac{dE}{dt},
I_{d}=\epsilon_{0}\,\frac{dE}{dt}\,\pi a^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dE}{dt} =\frac{I_{d}}{\epsilon_{0}\,\pi\,a^{2}}.

Passo 4

Agora basta inserir os valores numéricos em SI:
a=0{,}20\text{ mm}=2{,}0\times10^{-4}\text{ m}, \quad \epsilon_{0}=8{,}85\times10^{-12}\,\mathrm{F/m}, \quad I_{d}=2{,}0\text{ A}.
Calculando
\frac{dE}{dt} =\frac{2{,}0}{(8{,}85\times10^{-12})\,\pi\,(2{,}0\times10^{-4})^{2}} \approx1{,}8\times10^{18}\,\mathrm{V/(m\cdot s)}.

Resposta

A taxa de variação do campo é aproximadamente
\frac{dE}{dt}\approx1{,}8\times10^{18}\,\mathrm{V/(m\cdot s)}.

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