Uma onda de frequência 200 Hz e amplitude
propaga-se ao longo de uma corda de 20 m e uma massa de
, sob uma tensão de 50 N . (a) Qual é a energia total média de cada comprimento na corda? (b) a energia total na corda. R. 0,22 J; 4,4J.
Passo 1
O enunciado dá uma onda transversal numa corda e pede duas coisas:
- (a) a energia média total de cada comprimento na corda (vamos interpretar isto como a energia média contida em um comprimento de onda — explico melhor adiante);
- (b) a energia total armazenada na corda inteira.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
Nada mais será assumido além desses números.
Passo 2
Calcular a densidade linear de massa da corda
(massa por unidade de comprimento). Fórmula:
Substituindo os dados:
Comentário rápido:
diz quanto de massa há em cada metro da corda — é essencial para encontrar energia armazenada em vibração.
Passo 3
Calcular a velocidade de propagação da onda
na corda. Para uma corda tensa, a velocidade depende da tensão
e da densidade linear
pela fórmula:
Substituindo:
Esta fórmula vem da análise das forças e acelerações em um pequeno elemento da corda — não precisa decorar profundamente, mas lembre: mais tensão → onda mais rápida; mais massa por metro → onda mais lenta.
Passo 4
Calcular o comprimento de onda
. Relação entre velocidade, frequência e comprimento de onda:
Substituindo:
Interpretação: cada ciclo da onda ocupa cerca de
na corda.
Passo 5
Calcular a frequência angular
, que aparece nas fórmulas de energia:
Substituindo:
Passo 6
Derivar (ou lembrar) a expressão para a energia média por unidade de comprimento da onda (energia média total — soma de média cinética e média potencial).
Rápida aula: a deflexão da corda pode ser escrita como
onde
é a amplitude e
é o número de onda. A energia instantânea por unidade de comprimento tem duas partes: cinética
e potencial (deformação)
. Ao fazer a média temporal (média sobre um ciclo) as duas contribuem igualmente e somam:
Fórmula final útil (média temporal da energia total por unidade de comprimento):
Explicando variáveis:
-
= energia média total por unidade de comprimento (J/m); -
= densidade linear de massa (kg/m); -
= frequência angular (rad/s); -
= amplitude (m).
Esta fórmula é prática na prova: você não precisa rederivar cada vez; basta lembrar que média cinética = média potencial =
, somando
.
Passo 7
Calcular numericamente
usando a fórmula:
Substituindo
,
e
:
Primeiro calcule :
Primeiro calcule
Agora
Interpretação: em média, cada metro da corda armazena cerca de
devido à onda.
Passo 8
Calcular a energia média contida em um comprimento de onda (isto é, em um segmento de comprimento
). Multiplicamos a densidade de energia média pela extensão
:
Substituindo
e
:
Arredondando para duas casas decimais:
.
Comentário: esse é o valor que corresponde ao primeiro número que apareceu nas respostas que você deu.
Comentário: esse é o valor que corresponde ao primeiro número que apareceu nas respostas que você deu.
Passo 9
Calcular a energia total na corda inteira. Podemos multiplicar a densidade de energia média pela extensão total
:
Substituindo
e
:
Arredondando:
.
Observação final (motivacional e prática): é comum, em listas de exercícios, pedirem a energia por comprimento de onda (passo 8) e também a energia total (passo 9). Repare que
e
, e portanto
— ou seja, energia por comprimento de onda vezes o número de comprimentos de onda na corda.