Uma onda de frequência 200 Hz e amplitude 1,2 \mathrm{~cm} propaga-se ao longo de uma corda de 20 m e uma massa de 0,06 \mathrm{~kg}, sob uma tensão de 50 N . (a) Qual é a energia total média de cada comprimento na corda? (b) a energia total na corda. R. 0,22 J; 4,4J.

Passo 1

O enunciado dá uma onda transversal numa corda e pede duas coisas:
  • (a) a energia média total de cada comprimento na corda (vamos interpretar isto como a energia média contida em um comprimento de onda — explico melhor adiante);
  • (b) a energia total armazenada na corda inteira.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
L=20\\ \mathrm{m},\qquad m_{\text{corda}}=0,06\\ \mathrm{kg},\qquad T=50\\ \mathrm{N},
f=200\\ \mathrm{Hz},\qquad A=1,2\\ \mathrm{cm}=0,012\\ \mathrm{m}.
Nada mais será assumido além desses números.

Passo 2

Calcular a densidade linear de massa da corda \mu (massa por unidade de comprimento). Fórmula:
\mu=\frac{m_{\text{corda}}}{L}.
Substituindo os dados:
\mu=\frac{0,06}{20}=0,003\\ \mathrm{kg/m}.
Comentário rápido: \mu diz quanto de massa há em cada metro da corda — é essencial para encontrar energia armazenada em vibração.

Passo 3

Calcular a velocidade de propagação da onda v na corda. Para uma corda tensa, a velocidade depende da tensão T e da densidade linear \mu pela fórmula:
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}.
Substituindo:
v=\sqrt{\frac{50}{0,003}}=\sqrt{16666,\overline{6}}\approx129,10\\ \mathrm{m/s}.
Esta fórmula vem da análise das forças e acelerações em um pequeno elemento da corda — não precisa decorar profundamente, mas lembre: mais tensão → onda mais rápida; mais massa por metro → onda mais lenta.

Passo 4

Calcular o comprimento de onda \lambda. Relação entre velocidade, frequência e comprimento de onda:
v=\lambda f \quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{v}{f}.
Substituindo:
\lambda=\frac{129,10}{200}=0,6455\\ \mathrm{m}.
Interpretação: cada ciclo da onda ocupa cerca de 0,6455\\ \mathrm{m} na corda.

Passo 5

Calcular a frequência angular \omega, que aparece nas fórmulas de energia:
\omega=2\pi f.
Substituindo:
\omega=2\pi\cdot 200=400\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx1256,64\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 6

Derivar (ou lembrar) a expressão para a energia média por unidade de comprimento da onda (energia média total — soma de média cinética e média potencial).
Rápida aula: a deflexão da corda pode ser escrita como
y(x,t)=A\sin(kx-\omega t),
onde A é a amplitude e k=2\pi/\lambda é o número de onda. A energia instantânea por unidade de comprimento tem duas partes: cinética \tfrac{1}{2}\mu(\partial y/\partial t)^2 e potencial (deformação) \tfrac{1}{2}T(\partial y/\partial x)^2. Ao fazer a média temporal (média sobre um ciclo) as duas contribuem igualmente e somam:
Fórmula final útil (média temporal da energia total por unidade de comprimento):
\bar{u}=\frac{1}{2}\,\mu\,\omega^{2}A^{2}.
Explicando variáveis:
  • \bar{u} = energia média total por unidade de comprimento (J/m);
  • \mu = densidade linear de massa (kg/m);
  • \omega = frequência angular (rad/s);
  • A = amplitude (m).
Esta fórmula é prática na prova: você não precisa rederivar cada vez; basta lembrar que média cinética = média potencial = \tfrac{1}{4}\mu\omega^{2}A^{2}, somando \tfrac{1}{2}\mu\omega^{2}A^{2}.

Passo 7

Calcular numericamente \bar{u} usando a fórmula:
\bar{u}=\frac{1}{2}\mu\omega^{2}A^{2}.
Substituindo \mu=0,003\\ \mathrm{kg/m}, \omega\approx1256,64\\ \mathrm{rad/s} e A=0,012\\ \mathrm{m}:
Primeiro calcule \omega^{2}A^{2}:
\omega^{2}A^{2}\approx(1256,64)^{2}\cdot(0,012)^{2}\approx1\,579\,136{,}0\times0{,}000144\approx227{,}39.
Agora
\bar{u}=\tfrac{1}{2}\times0{,}003\times227{,}39\approx0{,}3411\\ \mathrm{J/m}.
Interpretação: em média, cada metro da corda armazena cerca de 0{,}341\,\mathrm{J} devido à onda.

Passo 8

Calcular a energia média contida em um comprimento de onda (isto é, em um segmento de comprimento \lambda). Multiplicamos a densidade de energia média pela extensão \lambda:
E_{\lambda}=\bar{u}\,\lambda.
Substituindo \bar{u}\approx0{,}3411\\ \mathrm{J/m} e \lambda\approx0{,}6455\\ \mathrm{m}:
E_{\lambda}=0{,}3411\times0{,}6455\approx0{,}2203\\ \mathrm{J}.
Arredondando para duas casas decimais: E_{\lambda}\approx0,22\\ \mathrm{J}.
Comentário: esse é o valor que corresponde ao primeiro número que apareceu nas respostas que você deu.

Passo 9

Calcular a energia total na corda inteira. Podemos multiplicar a densidade de energia média pela extensão total L:
E_{\text{total}}=\bar{u}\,L.
Substituindo \bar{u}\approx0{,}3411\\ \mathrm{J/m} e L=20\\ \mathrm{m}:
E_{\text{total}}=0{,}3411\times20\approx6{,}822\\ \mathrm{J}.
Arredondando: E_{\text{total}}\approx6,82\\ \mathrm{J}.
Observação final (motivacional e prática): é comum, em listas de exercícios, pedirem a energia por comprimento de onda (passo 8) e também a energia total (passo 9). Repare que E_{\text{total}}=\bar{u}L e E_{\lambda}=\bar{u}\lambda, e portanto E_{\text{total}}=E_{\lambda}\cdot(L/\lambda) — ou seja, energia por comprimento de onda vezes o número de comprimentos de onda na corda.

Resposta

E_{\lambda}\approx0,22\\ \mathrm{J}
E_{\text{total}}\approx6,82\\ \mathrm{J}

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