Uma onda harmônica propaga-se para direita em uma corda com uma massa por unidade de comprimento igual a 0,05 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}, sob uma tensão de 80 N . A amplitude desta onda é igual a 5 cm . Cada seção da corda oscila a uma frequência de 10 Hz . (a) Qual a velocidade de propagação desta onda? (b) Qual a equação matemática que descreve esta onda? (c) Qual a potência propagada ao longo da corda. R. 40 \mathrm{~m} / \mathrm{s}; \mathbf{0 , 0 5 m} \operatorname{sen}(\boldsymbol{\pi} \mathbf{x} / \mathbf{2}-\mathbf{2 0} \boldsymbol{\pi} \mathbf{t}) ; \mathbf{9 , 9 W}.

Passo 1

O enunciado pede três coisas e nos dá alguns dados. Vou listar claramente o que é pedido e os dados fornecidos.
Dados (retirei diretamente do enunciado):
\mu = 0,05\\ \mathrm{kg/m} (massa por unidade de comprimento),
T = 80\\ \mathrm{N} (tensão na corda),
A = 5\\ \mathrm{cm} = 0,05\\ \mathrm{m} (amplitude),
f = 10\\ \mathrm{Hz} (frequência).
Perguntas:
  1. (a) Qual a velocidade de propagação da onda?
  2. (b) Qual a equação matemática que descreve esta onda (onda harmônica propagando-se para a direita)?
  3. (c) Qual a potência média propagada ao longo da corda?
A partir daqui eu começo a resolver cada pedido passo a passo.

Passo 2

(a) Velocidade de propagação: fórmula e explicação curta
Para uma onda transversal numa corda tensionada, a velocidade de propagação depende apenas da tensão e da massa por unidade de comprimento. A fórmula é
v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}.
O que isso significa: quanto maior a tensão T, mais “rápida” fica a onda; quanto maior a massa por comprimento \mu, mais “pesada” é a corda e mais lenta é a onda. Essa fórmula vem do balanço de forças e da equação de ondas para a corda (podemos derivar a partir do equilíbrio de um pequeno elemento da corda, mas aqui usamos a fórmula conhecida).
Agora substituímos os valores:
v = \sqrt{\frac{80}{0,05}}.
Calculemos passo a passo:
\frac{80}{0,05} = 1600,
v = \sqrt{1600} = 40.
Logo
v = 40\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

(b) Frequência angular \omega e número de onda k
A forma geral de uma onda harmônica plana que se propaga para a direita é
y(x,t) = A \sin(kx - \omega t),
onde:
  • A é a amplitude (em metros),
  • k é o número de onda (em \mathrm{rad/m}),
  • \omega é a frequência angular (em \mathrm{rad/s}),
  • o sinal -\omega t indica propagação para a direita.
Calculamos primeiro \omega:
\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 10 = 20\pi\\ \mathrm{rad/s}.
O número de onda k é relacionado por k = \dfrac{\omega}{v}. Usando v=40\\ \mathrm{m/s}:
k = \frac{20\pi}{40} = \frac{\pi}{2}\\ \mathrm{rad/m}.

Passo 4

(b) Escrevendo a equação da onda com os valores numéricos
Substituindo A=0,05\\ \mathrm{m}, k=\dfrac{\pi}{2} e \omega=20\pi na forma y(x,t)=A\sin(kx-\omega t), obtemos
y(x,t)=0,05\\ \sin\!\left(\frac{\pi}{2}x - 20\pi t\right).
Aqui x está em metros e t em segundos. Esta é a equação da onda que viaja para a direita com as características dadas.

Passo 5

(c) Potência média transmitida: fórmula, derivação e cálculo
Conceito: a potência instantânea transmitida por uma onda na corda (fluxo de energia) num ponto x é dada por (para pequenas inclinações)
P(x,t) = -T\\ \frac{\partial y}{\partial x}\\ \frac{\partial y}{\partial t}.
Explicação rápida: a tensão T cria uma força transverse aproximada -T\,\partial y/\partial x e multiplicando pela velocidade transverse \partial y/\partial t obtemos a potência instantânea. Para a onda y(x,t)=A\sin(kx-\omega t) calculamos as derivadas:
Primeiro,
\frac{\partial y}{\partial x} = A k \cos(kx-\omega t).
E
\frac{\partial y}{\partial t} = -A \omega \cos(kx-\omega t).
Substituindo em P(x,t):
P(x,t) = -T \cdot (A k \cos\theta)\cdot(-A \omega \cos\theta) = T A^2 k \omega \cos^2\theta,
onde \theta = kx-\omega t.
A potência média ao longo do tempo usa a média de \cos^2\theta, que é 1/2. Assim
\overline{P} = \frac{1}{2} T A^2 k \omega.
Essa expressão também pode ser escrita substituindo T=\mu v^2 e k=\omega/v, ficando
\overline{P} = \frac{1}{2}\,\mu\,\omega^2 A^2 v.
Agora fazemos o cálculo numérico usando esta última forma (fica mais simples):
Temos \mu=0,05, \omega=20\pi, A=0,05 e v=40. Então
\overline{P} = \frac{1}{2}\cdot 0,05 \cdot (20\pi)^2 \cdot (0,05)^2 \cdot 40.
Calcule passo a passo:
(20\pi)^2 = 400\pi^2,
(0,05)^2 = 0,0025,
400 \times 0,0025 = 1,
logo a expressão reduz para
\overline{P} = \frac{1}{2}\cdot 0,05 \cdot 1 \cdot 40 \cdot \pi^2.
\frac{1}{2}\cdot 0,05 \cdot 40 = \frac{1}{2}\cdot 2 = 1,
portanto
\overline{P} = \pi^2\\ \mathrm{W}.
Numericamente \pi^2 \approx 9,8696, que arredondando com uma casa decimal dá 9,9\\ \mathrm{W}.

Passo 6

Resumo final curto (vou só recapitular os valores encontrados para ficar fácil decorar na prova):
  • Velocidade v=40\\ \mathrm{m/s}.
  • Equação y(x,t)=0,05\\ \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}x - 20\pi t\right).
  • Potência média \overline{P}\approx 9,9\\ \mathrm{W}.
Força e confiança: você já tem tudo pronto para a prova — decore os passos principais: fórmula de v=\sqrt{T/\mu}, forma da onda A\sin(kx-\omega t) e expressão da potência média \overline{P}=\tfrac{1}{2}\mu\omega^2A^2 v. Vai dar certo!

Resposta

40\\ \mathrm{m/s}
0,05\\ \mathrm{m}\\ \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}x - 20\pi t\right)
9,9\\ \mathrm{W}

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