Uma onda harmônica propaga-se para direita em uma corda com uma massa por unidade de comprimento igual a 0,05 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}, sob uma tensão de 80 N . A amplitude desta onda é igual a 5 cm . Cada seção da corda oscila a uma frequência de 10 Hz . (a) Qual a velocidade de propagação desta onda? (b) Qual a equação matemática que descreve esta onda? (c) Qual a potência propagada ao longo da corda. R. 40 \mathrm{~m} / \mathrm{s}; \mathbf{0 , 0 5 m} \operatorname{sen}(\boldsymbol{\pi} \mathbf{x} / \mathbf{2}-\mathbf{2 0} \boldsymbol{\pi} \mathbf{t}) ; \mathbf{9 , 9 W}.
Passo 1
O enunciado pede três coisas e nos dá alguns dados. Vou listar claramente o que é pedido e os dados fornecidos.
Dados (retirei diretamente do enunciado): \mu = 0,05\\ \mathrm{kg/m} (massa por unidade de comprimento), T = 80\\ \mathrm{N} (tensão na corda), A = 5\\ \mathrm{cm} = 0,05\\ \mathrm{m} (amplitude), f = 10\\ \mathrm{Hz} (frequência).
Perguntas:
(a) Qual a velocidade de propagação da onda?
(b) Qual a equação matemática que descreve esta onda (onda harmônica propagando-se para a direita)?
(c) Qual a potência média propagada ao longo da corda?
A partir daqui eu começo a resolver cada pedido passo a passo.
Passo 2
(a) Velocidade de propagação: fórmula e explicação curta
Para uma onda transversal numa corda tensionada, a velocidade de propagação depende apenas da tensão e da massa por unidade de comprimento. A fórmula é
v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}.
O que isso significa: quanto maior a tensão T, mais “rápida” fica a onda; quanto maior a massa por comprimento \mu, mais “pesada” é a corda e mais lenta é a onda. Essa fórmula vem do balanço de forças e da equação de ondas para a corda (podemos derivar a partir do equilíbrio de um pequeno elemento da corda, mas aqui usamos a fórmula conhecida).
Agora substituímos os valores:
v = \sqrt{\frac{80}{0,05}}.
Calculemos passo a passo:
\frac{80}{0,05} = 1600,
v = \sqrt{1600} = 40.
Logo
v = 40\\ \mathrm{m/s}.
Passo 3
(b) Frequência angular \omega e número de onda k
A forma geral de uma onda harmônica plana que se propaga para a direita é
y(x,t) = A \sin(kx - \omega t),
onde:
A é a amplitude (em metros),
k é o número de onda (em \mathrm{rad/m}),
\omega é a frequência angular (em \mathrm{rad/s}),
o sinal -\omega t indica propagação para a direita.
Explicação rápida: a tensão T cria uma força transverse aproximada -T\,\partial y/\partial x e multiplicando pela velocidade transverse \partial y/\partial t obtemos a potência instantânea. Para a onda y(x,t)=A\sin(kx-\omega t) calculamos as derivadas:
Primeiro,
\frac{\partial y}{\partial x} = A k \cos(kx-\omega t).
E
\frac{\partial y}{\partial t} = -A \omega \cos(kx-\omega t).
Substituindo em P(x,t):
P(x,t) = -T \cdot (A k \cos\theta)\cdot(-A \omega \cos\theta) = T A^2 k \omega \cos^2\theta,
onde \theta = kx-\omega t.
A potência média ao longo do tempo usa a média de \cos^2\theta, que é 1/2. Assim
\overline{P} = \frac{1}{2} T A^2 k \omega.
Essa expressão também pode ser escrita substituindo T=\mu v^2 e k=\omega/v, ficando
\overline{P} = \frac{1}{2}\,\mu\,\omega^2 A^2 v.
Agora fazemos o cálculo numérico usando esta última forma (fica mais simples):
Temos \mu=0,05, \omega=20\pi, A=0,05 e v=40. Então
Potência média \overline{P}\approx 9,9\\ \mathrm{W}.
Força e confiança: você já tem tudo pronto para a prova — decore os passos principais: fórmula de v=\sqrt{T/\mu}, forma da onda A\sin(kx-\omega t) e expressão da potência média \overline{P}=\tfrac{1}{2}\mu\omega^2A^2 v. Vai dar certo!