Uma corda presa nas duas extremidades tem 3 m de comprimento, densidade linear de 40 g / m. Qual deve ser a tensão na corda a fim de formar o 5^circ modo normal de oscilação para uma frequência de 50 Hz ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma corda com 3 metros de comprimento e uma densidade linear de 40 , g/m. Queremos descobrir qual deve ser a tensão nessa corda para que ela consiga vibrar no quinto modo normal com uma frequência de 50 Hz. Aqui, estamos lidando com ondas em cordas fixas nas duas extremidades, e vamos precisar usar algumas fórmulas de física das ondas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a densidade linear de 40 , g/m para kg/m, porque as unidades padrão no Sistema Internacional usam kg.
40 , g/m = 0,040 , kg/m

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula que relaciona a frequência de vibração de uma corda com a tensão, a densidade linear e o comprimento da corda. A fórmula para a frequência do modo n é:
fn = n2L raizTmu
Onde:
  • fn é a frequência do modo n,
  • n é o número do modo (no caso, 5),
  • L é o comprimento da corda (3 m),
  • T é a tensão na corda que queremos encontrar,
  • mu é a densidade linear (0,040 kg/m).

Passo 4

Queremos isolar a variável T na fórmula para encontrar a tensão. Vamos rearranjar a equação:
fn = n2L raizTmu implies raizTmu = 2L fnn
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
Tmu = ( 2L fnn )^2 implies T = mu ( 2L fnn )^2

Passo 5

Vamos inserir os valores conhecidos na fórmula:
T = 0,040 , kg/m times ( 2 times 3 , m times 50 , Hz5 )^2
Primeiro, calculamos o que está dentro dos parênteses:
2 times 3 times 505 = 3005 = 60
Agora, elevamos 60 ao quadrado:
60^2 = 3600

Passo 6

Finalmente, multiplicamos pelo valor da densidade linear:
T = 0,040 times 3600 = 144 , N

Resposta

A tensão necessária na corda para formar o quinto modo normal de oscilação com uma frequência de 50 Hz é de 144 newtons.

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