Um gás ideal monoatômico isolado termicamente está inicialmente a uma temperatura de 300 K e à 1 atm . Esse gás sofre uma expansão adiabática até quintuplicar o volume inicial. Qual dever ser a temperatura final sabendo que, em um processo adiabático, P V^5 / 3 é constante?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um gás ideal monoatômico que está isolado termicamente, ou seja, sem troca de calor com o ambiente. A gente precisa descobrir qual é a temperatura final desse gás depois que ele expande adiabaticamente, aumentando o volume inicial cinco vezes. Para resolver isso, vamos usar a teoria dos processos adiabáticos na termodinâmica e a relação $ PV^{5/3} = constante $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um processo adiabático, não há troca de calor ($ Q = 0 Q = 0 áôçãã P P V $) é dada por $ PV^{\gamma} = constante $, onde $ \gamma = \frac{5}{3} $. Também podemos relacionar temperaturas e volumes usando $ TV^{\gamma-1} = constante $.

Passo 3

Sabemos que a temperatura inicial ($ T_1 T1 é V_1 $) vai quintuplicar, ou seja, $ V_2 = 5V_1 $. Vamos usar a relação $ T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1} $ para encontrar a temperatura final ($ T_2 $).

Passo 4

Vamos reorganizar a fórmula para isolar $ T_2 $:
T2
Substituindo $ V_2 = 5V_1 $ e $ \gamma - 1 = \frac{2}{3} $:
T2 = T1 ( V1V2 )^gamma - 1

Passo 5

Agora, vamos calcular $ \left( \frac{1}{5} \right)^{2/3} $. Primeiro, calculamos a raiz cúbica de 5:
( 15 )^2/3
Então,
5^1/3 approx 1,710
Multiplicando pela temperatura inicial:
( 15 )^2/3 = 1(5^1/3)^2 approx 1(1,710)^2 approx 12,925 approx 0,342

Resposta

A temperatura final do gás após a expansão adiabática é aproximadamente 103 K.

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