Um gás ideal monoatômico isolado termicamente está inicialmente a uma temperatura de 300 K e à 1 atm . Esse gás sofre uma expansão adiabática até quintuplicar o volume inicial. Qual dever ser a temperatura final sabendo que, em um processo adiabático,
é constante?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um gás ideal monoatômico que está isolado termicamente, ou seja, sem troca de calor com o ambiente. A gente precisa descobrir qual é a temperatura final desse gás depois que ele expande adiabaticamente, aumentando o volume inicial cinco vezes. Para resolver isso, vamos usar a teoria dos processos adiabáticos na termodinâmica e a relação $ PV^{5/3} = constante $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um processo adiabático, não há troca de calor ($ Q = 0
P
V $) é dada por $ PV^{\gamma} = constante $, onde $ \gamma = \frac{5}{3} $. Também podemos relacionar temperaturas e volumes usando $ TV^{\gamma-1} = constante $.
Passo 3
Sabemos que a temperatura inicial ($ T_1
V_1 $) vai quintuplicar, ou seja, $ V_2 = 5V_1 $. Vamos usar a relação $ T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1} $ para encontrar a temperatura final ($ T_2 $).
Passo 4
Vamos reorganizar a fórmula para isolar $ T_2 $:
Substituindo $ V_2 = 5V_1 $ e $ \gamma - 1 = \frac{2}{3} $:
Passo 5
Agora, vamos calcular $ \left( \frac{1}{5} \right)^{2/3} $. Primeiro, calculamos a raiz cúbica de 5:
Então,
Multiplicando pela temperatura inicial:
Resposta
A temperatura final do gás após a expansão adiabática é aproximadamente 103 K.