t/3. (4,0)Uma corda sujeita a uma tração de 200 N , fixa nas duas extremidades, oscila no segundo harmônico de uma onda estacionária. O deslocamento da corda é dado por y=(0,10 m)(sen pi x / 2) sen 12 pi t,
em que x=0 em uma das extremidades da corda, x está em metros e t está em segundos. Determine
(a) o comprimento da corda,
(b) a velocidade das ondas na corda e
(d) Se a corda oscilar no terceiro harmônico de uma onda estacionária, qual será o período de oscilação ?
(e) a massa da corda.
lambda2=2 Ln

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre ondas estacionárias em cordas fixas nas duas extremidades. A gente vai precisar entender como funcionam os harmônicos, a relação entre comprimento de onda, comprimento da corda, velocidade das ondas e a massa da corda. Vamos usar umas fórmulas básicas de física de ondas e fazer umas contas passo a passo.

Passo 2

Parte (a): Determinar o comprimento da corda
Primeiro, vamos descobrir o comprimento da corda. A equação dada para o deslocamento da corda é:
y = (0,10 , m) cdot sin(pi x2) cdot sin(12pi t)
Comparando com a forma geral da onda estacionária:
y(x,t) = A cdot sin(npi xL) cdot sin(omega t)
Vemos que:
npiL = pi2 implies nL = 12 implies L = 2n
Como está no segundo harmônico, n = 2 . Então:
L = 2 times 2 = 4 , m

Passo 3

Parte (b): Determinar a velocidade das ondas na corda
A velocidade da onda ( v ) pode ser encontrada usando a relação entre a frequência ( f ) e o comprimento de onda ( lambda ):
v = lambda cdot f
Primeiro, vamos identificar a frequência angular ( omega ) da equação:
omega = 12pi , rad/s
A frequência ( f ) está relacionada com omega por:
omega = 2pi f implies f = omega2pi = 12pi2pi = 6 , Hz
Agora, precisamos do comprimento de onda. No segundo harmônico:
lambda = 2Ln = 2 times 42 = 4 , m
Então, a velocidade é:
v = lambda cdot f = 4 , m times 6 , Hz = 24 , m/s

Passo 4

Parte (d): Período de oscilação no terceiro harmônico
Quando a corda oscila no terceiro harmônico ( n = 3 ), a frequência aumenta. A relação entre frequências nos harmônicos é:
fn = n cdot f1
No segundo harmônico, f2 = 2f1 = 6 , Hz , então a frequência fundamental ( f1 ) é:
f1 = f22 = 62 = 3 , Hz
No terceiro harmônico:
f3 = 3f1 = 3 times 3 = 9 , Hz
O período ( T ) é o inverso da frequência:
T = 1f = 19 approx 0,111 , s

Passo 5

Parte (e): Determinar a massa da corda
A massa da corda pode ser encontrada usando a relação entre a velocidade da onda, a tração ( T ) e a massa linear ( mu ):
v = raizTmu implies mu = Tv^2
Sabemos que a tração T = 200 , N e v = 24 , m/s , então:
mu = 20024^2 = 200576 approx 0,347 , kg/m
Agora, a massa total ( m ) da corda é:
m = mu cdot L = 0,347 , kg/m times 4 , m = 1,388 , kg

Resposta

(a) O comprimento da corda é 4 , m .
(b) A velocidade das ondas na corda é 24 , m/s .
(d) O período de oscilação no terceiro harmônico é aproximadamente 0,111 , s .
(e) A massa da corda é aproximadamente 1,388 , kg .

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