t/3. (4,0)Uma corda sujeita a uma tração de 200 N , fixa nas duas extremidades, oscila no segundo harmônico de uma onda estacionária. O deslocamento da corda é dado por
sen
,
em que
em uma das extremidades da corda,
está em metros e
está em segundos. Determine
(a) o comprimento da corda,
(b) a velocidade das ondas na corda e
(d) Se a corda oscilar no terceiro harmônico de uma onda estacionária, qual será o período de oscilação ?
(e) a massa da corda.
em que
(a) o comprimento da corda,
(b) a velocidade das ondas na corda e
(d) Se a corda oscilar no terceiro harmônico de uma onda estacionária, qual será o período de oscilação ?
(e) a massa da corda.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre ondas estacionárias em cordas fixas nas duas extremidades. A gente vai precisar entender como funcionam os harmônicos, a relação entre comprimento de onda, comprimento da corda, velocidade das ondas e a massa da corda. Vamos usar umas fórmulas básicas de física de ondas e fazer umas contas passo a passo.
Passo 2
Parte (a): Determinar o comprimento da corda
Primeiro, vamos descobrir o comprimento da corda. A equação dada para o deslocamento da corda é:
Comparando com a forma geral da onda estacionária:
Vemos que:
Como está no segundo harmônico,
. Então:
Passo 3
Parte (b): Determinar a velocidade das ondas na corda
A velocidade da onda (
) pode ser encontrada usando a relação entre a frequência (
) e o comprimento de onda (
):
Primeiro, vamos identificar a frequência angular (
) da equação:
A frequência (
) está relacionada com
por:
Agora, precisamos do comprimento de onda. No segundo harmônico:
Então, a velocidade é:
Passo 4
Parte (d): Período de oscilação no terceiro harmônico
Quando a corda oscila no terceiro harmônico (
), a frequência aumenta. A relação entre frequências nos harmônicos é:
No segundo harmônico,
, então a frequência fundamental (
) é:
No terceiro harmônico:
O período (
) é o inverso da frequência:
Passo 5
Parte (e): Determinar a massa da corda
A massa da corda pode ser encontrada usando a relação entre a velocidade da onda, a tração (
) e a massa linear (
):
Sabemos que a tração
e
, então:
Agora, a massa total (
) da corda é:
Resposta
(a) O comprimento da corda é
.
(b) A velocidade das ondas na corda é
.
(d) O período de oscilação no terceiro harmônico é aproximadamente
.
(e) A massa da corda é aproximadamente
.