1. Um objeto é lançado do solo fazendo um ângulo de 45 graus em relação à horizontal. Sabendo que o objeto atinge sua altura máxima após 3,0 s, determine:
    a) A velocidade de lançamento
    b) O alcance do objeto
    c) O módulo do vetor velocidade no instante 4,0 s

Passo 1

O enunciado trata de um lançamento oblíquo com ângulo theta=45^circ e aceleração da gravidade g=9,8 m/s^2. Sabe-se que o objeto atinge a altura máxima em tmax=3,0 s. Vamos usar as equações do movimento uniformemente variado na vertical para (a) achar v0, em seguida (b) usar a fórmula do alcance horizontal e por fim (c) determinar o módulo da velocidade em t=4,0 s.

Passo 2

Para chegar ao topo, a componente vertical da velocidade zera:
vy(tmax) = v0y - g,tmax = 0
Como v0y=v0sin45^circ, temos
v0sin45^circ = g,tmax Longrightarrow v0 = g,tmaxsin45^circ = 9,8 times 3,0tfracraiz22 = 3,0cdot 9,8cdot 2raiz2 = 3,0cdot 9,8raiz2 approx 41,6 m/s

Passo 3

O alcance horizontal do projétil, desprezando resistência do ar, é
R = v0^2sin(2theta)g
Para theta=45^circ, sin(2theta)=sin90^circ=1, logo
R = v0^2g = (41,6)^29,8 approx 176,5 m

Passo 4

A velocidade em t=4,0 s tem componentes
vx = v0cos45^circ = 41,6cdottfracraiz22approx29,4 m/s,
vy = v0sin45^circ - g,t = 29,4 - 9,8times4,0 = 29,4 - 39,2 = -9,8 m/s
O módulo é
|vec v| = raizvx^2 + vy^2 = raiz(29,4)^2 + (-9,8)^2 approx raiz864,4 + 96,0 = raiz960,4 approx 31,0 m/s

Resposta

a) v0approx41,6 m/s
b) Rapprox176,5 m
c) |vec v(4,s)|approx31,0 m/s

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