Uma corda uniforme, de 20 \boldsymbol{m} de comprimento e massa de 2,0 kg , está esticada sob uma tensão de 10 \boldsymbol{N}. Faz-se oscilar, transversalmente, uma extremidade da corda, com amplitude de \mathbf{3 , 0} \boldsymbol{c m} e freqüência de \mathbf{5 , 0} oscilações por segundo. O deslocamento inicial da extremidade é de 1,5 cm para cima. (a) Ache a velocidade de propagação \boldsymbol{v} e o comprimento de onda \lambda da onda progressiva gerada na corda. (b) Escreva, como função do tempo, o deslocamento transversal \boldsymbol{y} de um ponto da corda situado à distância \boldsymbol{x} da extremidade que se faz oscilar, após ser atingido pela onda e antes que ela chegue à outra extremidade. (c) Calcule a intensidade \boldsymbol{I} da onda progressiva gerada.
Resp.: a) \boldsymbol{v}=10 \mathrm{~m} / \boldsymbol{s}; b) \boldsymbol{y}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{t})=\mathbf{0 , 0 3} \boldsymbol{\operatorname { c o s }}(\boldsymbol{\pi} \boldsymbol{x}-\mathbf{1 0} \boldsymbol{\pi} \boldsymbol{t} \boldsymbol{+} \boldsymbol{\pi} \boldsymbol{3})(\boldsymbol{m}, \boldsymbol{s}) ; c) \boldsymbol{I}=0,44 \boldsymbol{W}

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (a) a velocidade de propagação v e o comprimento de onda \lambda da onda na corda; (b) a expressão do deslocamento transversal y de um ponto situado à distância x da extremidade oscilada, válida depois que a onda atinge esse ponto e antes de chegar à outra extremidade; (c) a intensidade (potência transmitida) I da onda.
Dados fornecidos (vou listar em unidades do SI, cada quantidade matemática em TeX):
\text{comprimento total da corda }L = 20\\ \mathrm{m}
\text{massa da corda }m = 2,0\\ \mathrm{kg}
\text{tensão na corda }T = 10\\ \mathrm{N}ã
\text{amplitude da oscilação }A = 3,0\\ \mathrm{cm} = 0,03\\ \mathrm{m}çã
\text{frequência }f = 5,0\\ \mathrm{Hz}ê
\text{deslocamento inicial da extremidade }y(0,0) = 1,5\\ \mathrm{cm} = 0,015\\ \mathrm{m}
Observações que já podemos anotar (sem resolver ainda): a massa linear da corda é \mu = m/L. A velocidade de propagação de ondas transversais numa corda tensa é dada por uma fórmula padrão (vamos explicar e usar no próximo passo). A frequência f e a velocidade v determinam o comprimento de onda pela relação \lambda = v/f. Para escrever y(x,t) precisamos da amplitude A, da pulsação \omega=2\pi f, do número de onda k=2\pi/\lambda e da fase inicial obtida a partir de y(0,0).

Passo 2

Calcular a velocidade de propagação v da onda na corda.
Primeiro a massa por unidade de comprimento:
\mu = \frac{m}{L} = \frac{2,0}{20} = 0,10\\ \mathrm{kg/m}.
A fórmula para a velocidade de ondas transversais numa corda tensa é
v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}.
Explicação curta dessa fórmula: a velocidade cresce com a raiz da tensão T (mais tensão => corda mais “esticada” => perturbações correm mais rápido) e diminui com a raiz da massa por comprimento \mu (mais massa por comprimento => mais dificuldade para mover a corda). É uma fórmula padrão que vem de igualar forças de restituição e inércia para um pequeno elemento da corda.
Substituindo os valores:
v = \sqrt{\frac{10}{0,10}} = \sqrt{100} = 10\\ \mathrm{m/s}.
Agora o comprimento de onda \lambda:
\lambda = \frac{v}{f} = \frac{10}{5,0} = 2,0\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Preparar os parâmetros necessários para escrever y(x,t): a pulsação \omega, o número de onda k e a fase inicial \varphi.
A pulsação (frequência angular) é
\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 5,0 = 10\pi\\ \mathrm{rad/s}.
O número de onda é
k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{2,0} = \pi\\ \mathrm{rad/m}.
A extremidade em x=0 oscila com amplitude A. Em geral a oscilação forçada da extremidade pode ser escrita como
y(0,t) = A\cos(\omega t + \varphi).
No instante inicial t=0 temos y(0,0)=A\cos(\varphi). Usando o valor dado:
0,015 = 0,03\cos(\varphi) \quad\Rightarrow\quad \cos(\varphi)=\frac{0,015}{0,03}=0,5.
Portanto
\varphi = \frac{\pi}{3}\quad\text{(ou também }-\tfrac{\pi}{3}\text{, mas vamos escolher }\varphi=\tfrac{\pi}{3}\text{ para fixar a fase positiva).}é
Comentário sobre a escolha: ambas as fases \pm\pi/3 satisfazem \cos\varphi=0,5. Ao escolher \varphi=\pi/3 estamos fixando a referência temporal; a forma final da onda com essa fase coincide com a resposta esperada do enunciado.

Passo 4

Construir a expressão da onda progressiva y(x,t).
Forma geral de uma onda progressiva harmônica que se propaga no sentido positivo de x é
y(x,t) = A\cos(kx - \omega t + \varphi).
Breve justificativa do sinal: a combinação kx - \omega t descreve uma onda que, à medida que t aumenta, mantém o mesmo valor de argumento se x aumenta — isto é, a crista se desloca para maiores x. Essa é a convenção usual para onda que se propaga para a direita.
Substituindo A, k, \omega e \varphi:
y(x,t) = 0,03\cos\big(\pi x - 10\pi t + \tfrac{\pi}{3}\big)\\ \mathrm{m}.
Verificação rápida no ponto x=0: y(0,t)=0,03\cos(-10\pi t + \pi/3). Em t=0 isso dá 0,03\cos(\pi/3)=0,015\\ \mathrm{m}, que é o deslocamento inicial dado — coerente.

Passo 5

Derivar a expressão para a potência média transmitida pela onda e a intensidade pedida.
Para uma onda transversal numa corda homogênea a potência instantânea que atravessa uma seção é dada por
P(t) = -T\frac{\partial y}{\partial x}\cdot\frac{\partial y}{\partial t},
onde T é a tensão, \partial y/\partial x está ligado à inclinação da corda e \partial y/\partial t é a velocidade transversal do elemento. O sinal negativo aparece pela definição de trabalho, mas para potência média usaremos magnitude e média temporal.
Vamos calcular \partial y/\partial x e \partial y/\partial t para nossa y(x,t)=A\cos(kx-\omega t+\varphi).
Derivadas:
\frac{\partial y}{\partial x} = -Ak\sin(kx-\omega t+\varphi),
\frac{\partial y}{\partial t} = A\omega\sin(kx-\omega t+\varphi)\cdot(-1) = -A\omega\sin(kx-\omega t+\varphi).
Produto (usando as expressões acima):
P(t) = -T\big(-Ak\sin\theta\big)\big(-A\omega\sin\theta\big),
onde \theta=kx-\omega t+\varphi. Simplificando os sinais:
P(t) = -T \cdot (-Ak)\cdot(-A\omega)\sin^2\theta = -T\cdot (Ak)(A\omega)\sin^2\theta.
Mantendo apenas a magnitude e interessando na potência média ao longo do tempo, tomamos a média temporal de \sin^2\theta, que é 1/2. Assim a potência média média (valor médio temporal) transmitida pela onda é
\langle P\rangle = T A^2 k\omega \cdot \frac{1}{2}.
Agora usamos a relação entre k, \omega e v: v=\omega/k, portanto k\omega = \omega^2 / v. Também podemos reescrever T em termos de v e \mu usando v=\sqrt{T/\mu}\Rightarrow T=\mu v^2. Substituindo T=\mu v^2 em \langle P\rangle:
\langle P\rangle = \frac{1}{2}\mu v^2 A^2 \cdot \frac{\omega^2}{v} = \frac{1}{2}\mu \omega^2 A^2 v.
Essa é a fórmula clássica para a potência média transmitida por uma onda harmônica numa corda. Em palavras: potência média é proporcional à massa por comprimento \mu, ao quadrado da pulsação \omega^2, ao quadrado da amplitude A^2 e à velocidade v.
No enunciado pedem "intensidade I". Em muitos problemas de corda a “intensidade” refere-se simplesmente à potência (em W) transmitida pela onda ao longo da corda, e o resultado numérico fornecido é 0,44\\ \mathrm{W}. Vamos calcular a potência média numérica usando a fórmula acima.

Passo 6

Calcular numericamente a potência média \langle P\rangle (que aqui é a intensidade pedida).
Os valores:
\mu = 0,10\\ \mathrm{kg/m},\quad \omega = 10\pi\\ \mathrm{rad/s},\quad A=0,03\\ \mathrm{m},\quad v=10\\ \mathrm{m/s}.
Substituindo em
\langle P\rangle = \frac{1}{2}\mu \omega^2 A^2 v,
temos
\langle P\rangle = \tfrac{1}{2}\cdot 0,10 \cdot (10\pi)^2 \cdot (0,03)^2 \cdot 10.
Calculemos passo a passo:
(10\pi)^2 = 100\pi^2,
(0,03)^2 = 0,0009,
\tfrac{1}{2}\cdot 0,10 = 0,05.
Então
\langle P\rangle = 0,05 \cdot 100\pi^2 \cdot 0,0009 \cdot 10.
Simplificando fatores numéricos:
0,05\cdot 100 \cdot 0,0009 \cdot 10 = 0,05\cdot 100\cdot 0,009 = 0,05\cdot 0,9 = 0,045.
Multiplicando por \pi^2 (onde \pi^2\approx 9,8696):
\langle P\rangle \approx 0,045\cdot \pi^2 \approx 0,045\cdot 9,8696 \approx 0,444.
Arredondando com 2 casas significativas (coerente com dados), obtemos
\langle P\rangle \approx 0,44\\ \mathrm{W}.

Resposta

v=10\\ \mathrm{m/s}
y(x,t)=0,03\cos\big(\pi x - 10\pi t + \tfrac{\pi}{3}\big)\\ \mathrm{m}
I=0,44\\ \mathrm{W}

Exercícios relacionados