Uma corda uniforme, de
de comprimento e massa de 2,0 kg , está esticada sob uma tensão de
. Faz-se oscilar, transversalmente, uma extremidade da corda, com amplitude de
e freqüência de
oscilações por segundo. O deslocamento inicial da extremidade é de 1,5 cm para cima. (a) Ache a velocidade de propagação
e o comprimento de onda
da onda progressiva gerada na corda. (b) Escreva, como função do tempo, o deslocamento transversal
de um ponto da corda situado à distância
da extremidade que se faz oscilar, após ser atingido pela onda e antes que ela chegue à outra extremidade. (c) Calcule a intensidade
da onda progressiva gerada.
Resp.: a)
; b)
c)
Passo 1
O enunciado pede três coisas: (a) a velocidade de propagação
e o comprimento de onda
da onda na corda; (b) a expressão do deslocamento transversal
de um ponto situado à distância
da extremidade oscilada, válida depois que a onda atinge esse ponto e antes de chegar à outra extremidade; (c) a intensidade (potência transmitida)
da onda.
Dados fornecidos (vou listar em unidades do SI, cada quantidade matemática em TeX):
Observações que já podemos anotar (sem resolver ainda): a massa linear da corda é
. A velocidade de propagação de ondas transversais numa corda tensa é dada por uma fórmula padrão (vamos explicar e usar no próximo passo). A frequência
e a velocidade
determinam o comprimento de onda pela relação
. Para escrever
precisamos da amplitude
, da pulsação
, do número de onda
e da fase inicial obtida a partir de
.
Passo 2
Calcular a velocidade de propagação
da onda na corda.
Primeiro a massa por unidade de comprimento:
A fórmula para a velocidade de ondas transversais numa corda tensa é
Explicação curta dessa fórmula: a velocidade cresce com a raiz da tensão
(mais tensão => corda mais “esticada” => perturbações correm mais rápido) e diminui com a raiz da massa por comprimento
(mais massa por comprimento => mais dificuldade para mover a corda). É uma fórmula padrão que vem de igualar forças de restituição e inércia para um pequeno elemento da corda.
Substituindo os valores:
Agora o comprimento de onda
:
Passo 3
Preparar os parâmetros necessários para escrever
: a pulsação
, o número de onda
e a fase inicial
.
A pulsação (frequência angular) é
O número de onda é
A extremidade em
oscila com amplitude
. Em geral a oscilação forçada da extremidade pode ser escrita como
No instante inicial
temos
. Usando o valor dado:
Portanto
Comentário sobre a escolha: ambas as fases
satisfazem
. Ao escolher
estamos fixando a referência temporal; a forma final da onda com essa fase coincide com a resposta esperada do enunciado.
Passo 4
Construir a expressão da onda progressiva
.
Forma geral de uma onda progressiva harmônica que se propaga no sentido positivo de
é
Breve justificativa do sinal: a combinação
descreve uma onda que, à medida que
aumenta, mantém o mesmo valor de argumento se
aumenta — isto é, a crista se desloca para maiores
. Essa é a convenção usual para onda que se propaga para a direita.
Substituindo
,
,
e
:
Verificação rápida no ponto
:
. Em
isso dá
, que é o deslocamento inicial dado — coerente.
Passo 5
Derivar a expressão para a potência média transmitida pela onda e a intensidade pedida.
Para uma onda transversal numa corda homogênea a potência instantânea que atravessa uma seção é dada por
onde
é a tensão,
está ligado à inclinação da corda e
é a velocidade transversal do elemento. O sinal negativo aparece pela definição de trabalho, mas para potência média usaremos magnitude e média temporal.
Vamos calcular
e
para nossa
.
Derivadas:
Produto (usando as expressões acima):
onde
. Simplificando os sinais:
Mantendo apenas a magnitude e interessando na potência média ao longo do tempo, tomamos a média temporal de
, que é
. Assim a potência média média (valor médio temporal) transmitida pela onda é
Agora usamos a relação entre
,
e
:
, portanto
. Também podemos reescrever
em termos de
e
usando
. Substituindo
em
:
Essa é a fórmula clássica para a potência média transmitida por uma onda harmônica numa corda. Em palavras: potência média é proporcional à massa por comprimento
, ao quadrado da pulsação
, ao quadrado da amplitude
e à velocidade
.
No enunciado pedem "intensidade
". Em muitos problemas de corda a “intensidade” refere-se simplesmente à potência (em W) transmitida pela onda ao longo da corda, e o resultado numérico fornecido é
. Vamos calcular a potência média numérica usando a fórmula acima.
Passo 6
Calcular numericamente a potência média
(que aqui é a intensidade pedida).
Os valores:
Substituindo em
temos
Calculemos passo a passo:
Então
Simplificando fatores numéricos:
Multiplicando por
(onde
):
Arredondando com 2 casas significativas (coerente com dados), obtemos