Uma corda uniforme, de 20m de comprimento e massa 2kg, está esticada sob uma tensão de 10N. Faz-se oscilar transversalmente uma extremidade da corda, com amplitude de 3 cm realizando 5 oscilações por segundo. Qual é o valor da velocidade transversal de um ponto na corda em
e no instante 1,5s?
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar. Temos uma corda uniforme de 20 metros de comprimento e 2 kg de massa, esticada com uma tensão de 10 N. Uma das extremidades está oscilando transversalmente com uma amplitude de 3 cm e realizando 5 oscilações por segundo. Queremos descobrir qual é a velocidade transversal de um ponto específico na corda, localizado a 35 cm da extremidade, no instante de 1,5 segundos.
Conteúdo da matéria: Ondas em cordas, especificamente ondas transversais.
O que vamos precisar para resolver:
- Fórmulas de velocidade de ondas em cordas.
- Relação entre frequência, período e velocidade angular.
- Expressão matemática da posição em função do tempo para ondas transversais.
- Cálculo da velocidade transversal como derivada da posição em relação ao tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da onda na corda. A velocidade $ v $ de uma onda em uma corda é dada pela fórmula:
onde:
- $ T $ é a tensão na corda,
- $ \mu $ é a massa por unidade de comprimento da corda.
Passo 3
Vamos calcular $ \mu $ (massa por unidade de comprimento). Sabemos que a massa da corda é 2 kg e o comprimento é 20 m:
Passo 4
Agora, calculamos a velocidade da onda $ v $:
Passo 5
Vamos identificar a frequência $ f $ da onda, que é dada como 5 oscilações por segundo (5 Hz). A velocidade angular $ \omega $ está relacionada à frequência por:
Passo 6
A amplitude $ a $ é dada como 3 cm, que convertendo para metros fica:
Passo 7
A posição $ x $ onde queremos encontrar a velocidade transversal é 35 cm, ou seja:
Passo 8
A equação da onda transversal pode ser escrita como:
onde $ k $ é o número de onda, dado por $ k = \frac{2\pi}{\lambda} $, e $ \lambda $ é o comprimento de onda. Sabemos que $ v = \lambda f $, então podemos encontrar $ \lambda $:
Então,
Passo 9
A velocidade transversal $ v_y $ é a derivada de $ y(x,t) $ em relação ao tempo $ t $:
Passo 10
Vamos substituir os valores que já temos na equação da velocidade transversal:
Passo 11
Calculando os argumentos da função cosseno:
Então,
Passo 12
Como o cosseno é uma função par ($ \cos(-\theta) = \cos(\theta) $), podemos simplificar:
Sabemos que $ \cos(14,65\pi) = \cos(0,65\pi) $ porque o cosseno tem período $ 2\pi $:
Passo 13
Calculando $ \cos(0,65\pi) $:
Então,
Resposta
A velocidade transversal do ponto na corda em $ x = 35 $ cm e no instante de 1,5 segundos é aproximadamente 0,43 m/s.