Uma corda uniforme, de 20m de comprimento e massa 2kg, está esticada sob uma tensão de 10N. Faz-se oscilar transversalmente uma extremidade da corda, com amplitude de 3 cm realizando 5 oscilações por segundo. Qual é o valor da velocidade transversal de um ponto na corda em x=35 cm e no instante 1,5s?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o conteúdo que vamos usar. Temos uma corda uniforme de 20 metros de comprimento e 2 kg de massa, esticada com uma tensão de 10 N. Uma das extremidades está oscilando transversalmente com uma amplitude de 3 cm e realizando 5 oscilações por segundo. Queremos descobrir qual é a velocidade transversal de um ponto específico na corda, localizado a 35 cm da extremidade, no instante de 1,5 segundos.
Conteúdo da matéria: Ondas em cordas, especificamente ondas transversais.
O que vamos precisar para resolver:
  • Fórmulas de velocidade de ondas em cordas.
  • Relação entre frequência, período e velocidade angular.
  • Expressão matemática da posição em função do tempo para ondas transversais.
  • Cálculo da velocidade transversal como derivada da posição em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da onda na corda. A velocidade $ v $ de uma onda em uma corda é dada pela fórmula:
v
onde:
  • $ T $ é a tensão na corda,
  • $ \mu $ é a massa por unidade de comprimento da corda.

Passo 3

Vamos calcular $ \mu $ (massa por unidade de comprimento). Sabemos que a massa da corda é 2 kg e o comprimento é 20 m:
mu

Passo 4

Agora, calculamos a velocidade da onda $ v $:
v

Passo 5

Vamos identificar a frequência $ f $ da onda, que é dada como 5 oscilações por segundo (5 Hz). A velocidade angular $ \omega $ está relacionada à frequência por:
f

Passo 6

A amplitude $ a $ é dada como 3 cm, que convertendo para metros fica:
a

Passo 7

A posição $ x $ onde queremos encontrar a velocidade transversal é 35 cm, ou seja:
x

Passo 8

A equação da onda transversal pode ser escrita como:
y(x,t) = a sin(kx - omega t)
onde $ k $ é o número de onda, dado por $ k = \frac{2\pi}{\lambda} $, e $ \lambda $ é o comprimento de onda. Sabemos que $ v = \lambda f $, então podemos encontrar $ \lambda $:
k
Então,
k = 2pilambda

Passo 9

A velocidade transversal $ v_y $ é a derivada de $ y(x,t) $ em relação ao tempo $ t $:
vy

Passo 10

Vamos substituir os valores que já temos na equação da velocidade transversal:
vy = -0,03, m times 10pi, rad/s times cos(pi times 0,35, m - 10pi times 1,5, s)

Passo 11

Calculando os argumentos da função cosseno:
pi times 0,35 = 0,35pi, rad
10pi times 1,5 = 15pi, rad
Então,
vy = -0,03 times 10pi times cos(0,35pi - 15pi)
vy = -0,3pi times cos(-14,65pi)

Passo 12

Como o cosseno é uma função par ($ \cos(-\theta) = \cos(\theta) $), podemos simplificar:
cos(-theta) = cos(theta)
Sabemos que $ \cos(14,65\pi) = \cos(0,65\pi) $ porque o cosseno tem período $ 2\pi $:
vy = -0,3pi times cos(14,65pi)

Passo 13

Calculando $ \cos(0,65\pi) $:
cos(0,65pi)
0,65pi approx 2,042, rad
Então,
cos(2,042) approx -0,46

Resposta

A velocidade transversal do ponto na corda em $ x = 35 $ cm e no instante de 1,5 segundos é aproximadamente 0,43 m/s.

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