Uma corda uniforme, de 30m de comprimento e massa 3kg, está esticada sob uma tensão de 60N. Faz-se oscilar transversalmente uma extremidade da corda, em um percurso de 8cm do ponto mais baixo ao mais alto da oscilação, realizando 1,5 oscilações por segundo. Escreva, como função do tempo e do espaço, o deslocamento transversal
de um ponto da corda (equação da onda) substituindo os valores dos parâmetros constantes.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma corda que tem 30 metros de comprimento e pesa 3 kg, esticada com uma tensão de 60 N. Uma das extremidades da corda está fazendo oscilações transversais, ou seja, movimentos para cima e para baixo. Essas oscilações têm um deslocamento de 8 cm do ponto mais baixo ao mais alto e acontecem a uma frequência de 1,5 oscilações por segundo. Nosso objetivo é encontrar a equação da onda, $ y(x, t) $, que descreve o deslocamento de qualquer ponto da corda em função do tempo e da posição.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de ondas em cordas, como amplitude, frequência, comprimento de onda, velocidade da onda e a equação geral da onda.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a amplitude da oscilação. A amplitude é a máxima distância que a onda atinge a partir da posição de equilíbrio. Na questão, a corda oscila 8 cm do ponto mais baixo ao mais alto. Isso significa que a amplitude $ A $ é a metade desse valor:
Passo 3
Agora, vamos determinar a frequência $ f $ das oscilações. A frequência é o número de oscilações que ocorrem por segundo. Segundo a questão, a frequência é de 1,5 oscilações por segundo:
Passo 4
A próxima coisa que precisamos encontrar é o comprimento de onda $ \lambda $. Para isso, precisamos primeiro calcular a velocidade da onda $ v $ na corda. A velocidade da onda em uma corda é dada pela fórmula:
onde:
- $ T $ é a tensão na corda (60 N),
- $ \mu $ é a densidade linear de massa da corda.
Vamos calcular $ \mu $:
Agora, calculamos $ v $:
Com a velocidade da onda conhecida, podemos encontrar o comprimento de onda $ \lambda $ usando a relação entre velocidade, frequência e comprimento de onda:
Passo 5
Agora que temos a amplitude $ A $, a frequência $ f $, e o comprimento de onda $ \lambda $, podemos determinar o número de onda $ k $ e a frequência angular $ \omega $.
O número de onda $ k $ é dado por:
A frequência angular $ \omega $ é:
Passo 6
Com todos esses valores calculados, podemos montar a equação da onda. A forma geral da equação da onda é:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A equação da onda que descreve o deslocamento transversal da corda é: