Uma corda uniforme, de 30m de comprimento e massa 3kg, está esticada sob uma tensão de 60N. Faz-se oscilar transversalmente uma extremidade da corda, em um percurso de 8cm do ponto mais baixo ao mais alto da oscilação, realizando 1,5 oscilações por segundo. Qual a velocidade transversal da corda em x=3 m e t=0,2 s?

Passo 1

Vamos lá! O enunciado fala de uma corda de 30 metros, com massa de 3 kg, que está esticada com uma tensão de 60 N. Uma das extremidades da corda está oscilando para cima e para baixo, fazendo um percurso de 8 cm do ponto mais baixo ao mais alto, e isso acontece 1,5 vezes por segundo. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade transversal (ou seja, a velocidade para cima e para baixo) da corda num ponto específico que está a 3 metros da extremidade oscilante, no instante de tempo 0,2 segundos. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de ondas nas cordas, como a velocidade da onda, frequência e amplitude.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a velocidade da onda na corda. A velocidade da onda (v) em uma corda é dada pela fórmula:
v = raizTmu
onde $ T $ é a tensão na corda e $ \mu $ é a densidade linear de massa da corda (massa por unidade de comprimento).

Passo 3

Vamos calcular a densidade linear de massa ($ \mu $):
mu

Passo 4

Agora, vamos calcular a velocidade da onda ($ v $) usando a fórmula mencionada:
v

Passo 5

Em seguida, vamos determinar o comprimento de onda ($ \lambda lambda ê f $) é de 1,5 oscilações por segundo (Hz). A relação entre velocidade da onda, frequência e comprimento de onda é:
f
Então, podemos rearranjar para encontrar $ \lambda $:
v = f lambda

Passo 6

Agora, vamos escrever a equação da onda transversal na forma geral:
y(x, t) = A sin(2pi (xlambda - f t))
onde:
  • $ A $ é a amplitude da onda,
  • $ x $ é a posição ao longo da corda,
  • $ t $ é o tempo.

Passo 7

Sabemos que a amplitude total do percurso é de 8 cm, ou seja, a amplitude $ A $ é metade disso:
A

Passo 8

Agora, substituímos todos os valores na equação da onda:
y(x, t) = 0,04, m cdot sin(2pi (x16,33, m - 1,5, Hz cdot t))

Passo 9

Para encontrar a velocidade transversal ($ v_y $), precisamos derivar a equação da posição $ y(x, t) $ em relação ao tempo $ t $:
vy
Simplificando:
y(x, t)

Passo 10

Agora, vamos substituir $ x = 3, m $ e $ t = 0,2, s $ na equação:
x = 3, m

Passo 11

Calculando dentro do cosseno:
316,33 approx 0,1839
1,5 times 0,2 = 0,3
0,1839 - 0,3 = -0,1161
2pi times (-0,1161) approx -0,7295, rad

Passo 12

Agora, calculamos o cosseno desse valor:
cos(-0,7295) = cos(0,7295) approx 0,745

Passo 13

Substituindo de volta na equação da velocidade:
vy = -0,04 times 3pi times 0,745
vy approx -0,04 times 9,4248 times 0,745
vy approx -0,04 times 7,022
vy approx -0,2809, m/s

Resposta

A velocidade transversal da corda em $ x = 3, m $ e $ t = 0,2, s $ é aproximadamente x = 3, m .

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