Uma corda uniforme, de 30m de comprimento e massa 3kg, está esticada sob uma tensão de 60N. Faz-se oscilar transversalmente uma extremidade da corda, em um percurso de 8cm do ponto mais baixo ao mais alto da oscilação, realizando 1,5 oscilações por segundo. Qual a velocidade transversal da corda em
e
?
Passo 1
Vamos lá! O enunciado fala de uma corda de 30 metros, com massa de 3 kg, que está esticada com uma tensão de 60 N. Uma das extremidades da corda está oscilando para cima e para baixo, fazendo um percurso de 8 cm do ponto mais baixo ao mais alto, e isso acontece 1,5 vezes por segundo. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a velocidade transversal (ou seja, a velocidade para cima e para baixo) da corda num ponto específico que está a 3 metros da extremidade oscilante, no instante de tempo 0,2 segundos. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de ondas nas cordas, como a velocidade da onda, frequência e amplitude.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a velocidade da onda na corda. A velocidade da onda (v) em uma corda é dada pela fórmula:
onde $ T $ é a tensão na corda e $ \mu $ é a densidade linear de massa da corda (massa por unidade de comprimento).
Passo 3
Vamos calcular a densidade linear de massa ($ \mu $):
Passo 4
Agora, vamos calcular a velocidade da onda ($ v $) usando a fórmula mencionada:
Passo 5
Em seguida, vamos determinar o comprimento de onda ($ \lambda
f $) é de 1,5 oscilações por segundo (Hz). A relação entre velocidade da onda, frequência e comprimento de onda é:
Então, podemos rearranjar para encontrar $ \lambda $:
Passo 6
Agora, vamos escrever a equação da onda transversal na forma geral:
onde:
- $ A $ é a amplitude da onda,
- $ x $ é a posição ao longo da corda,
- $ t $ é o tempo.
Passo 7
Sabemos que a amplitude total do percurso é de 8 cm, ou seja, a amplitude $ A $ é metade disso:
Passo 8
Agora, substituímos todos os valores na equação da onda:
Passo 9
Para encontrar a velocidade transversal ($ v_y $), precisamos derivar a equação da posição $ y(x, t) $ em relação ao tempo $ t $:
Simplificando:
Passo 10
Agora, vamos substituir $ x = 3, m $ e $ t = 0,2, s $ na equação:
Passo 11
Calculando dentro do cosseno:
Passo 12
Agora, calculamos o cosseno desse valor:
Passo 13
Substituindo de volta na equação da velocidade:
Resposta
A velocidade transversal da corda em $ x = 3, m $ e $ t = 0,2, s $ é aproximadamente
.