Uma onda estacionária em uma corda fixa em suas duas extremidades tem como equação y(x, t)=(0,024) sen(52,3 x) cos (480 t). Encontre: A distância entre dois nós adjacentes na configuração estacionária ao longo da corda.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma onda estacionária numa corda fixa nas duas extremidades. A equação dessa onda é dada por:
y(x, t) = 0,024 cdot sin(52,3,x) cdot cos(480,t)
Nosso objetivo aqui é encontrar a distância entre dois nós adjacentes nessa configuração estacionária ao longo da corda. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre ondas estacionárias e o que são nós nessa situação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma onda estacionária. Diferente das ondas que se propagam, as ondas estacionárias ficam “paradas” em certos pontos da corda. Nessas ondas, existem pontos chamados nós, onde a corda nunca se move, e pontos chamados ventres, onde a movimentação é máxima.
A equação geral de uma onda estacionária é:
y(x, t) = A cdot sin(kx) cdot cos(omega t)
Onde:
  • $ A $ é a amplitude da onda.
  • $ k $ é o número de onda.
  • $ \omega $ é a frequência angular.
  • $ x $ e $ t $ são as variáveis de posição e tempo, respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores na nossa equação:
y(x, t) = 0,024 cdot sin(52,3,x) cdot cos(480,t)
Comparando com a forma geral, temos:
  • $ A = 0,024 $
  • $ k = 52,3 $ rad/m
  • $ \omega = 480 $ rad/s

Passo 4

Para encontrar a distância entre dois nós adjacentes, precisamos entender onde esses nós ocorrem. Os nós acontecem onde a amplitude da onda é sempre zero, ou seja, onde:
sin(kx) = 0
A solução para essa equação ocorre quando:
kx = npi
Onde $ n $ é um número inteiro (1, 2, 3, …).

Passo 5

Vamos resolver para $ x $:
x
A distância entre dois nós adjacentes, que chamamos de meia onda ou $ \frac{\lambda}{2} $, é a diferença entre $ x $ para $ n $ e $ n+1 $:
x = npik
Então, a distância entre dois nós adjacentes é:
lambda2

Passo 6

Substituindo o valor de $ k = 52,3 $ rad/m:
k = 52,3
Calculando:
De

Resposta

A distância entre dois nós adjacentes na corda é aproximadamente 0,0602 metros.

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