Uma onda estacionária em uma corda fixa em suas duas extremidades tem como equação
. Encontre: A distância entre dois nós adjacentes na configuração estacionária ao longo da corda.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma onda estacionária numa corda fixa nas duas extremidades. A equação dessa onda é dada por:
Nosso objetivo aqui é encontrar a distância entre dois nós adjacentes nessa configuração estacionária ao longo da corda. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre ondas estacionárias e o que são nós nessa situação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma onda estacionária. Diferente das ondas que se propagam, as ondas estacionárias ficam “paradas” em certos pontos da corda. Nessas ondas, existem pontos chamados nós, onde a corda nunca se move, e pontos chamados ventres, onde a movimentação é máxima.
A equação geral de uma onda estacionária é:
Onde:
- $ A $ é a amplitude da onda.
- $ k $ é o número de onda.
- $ \omega $ é a frequência angular.
- $ x $ e $ t $ são as variáveis de posição e tempo, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos identificar os valores na nossa equação:
Comparando com a forma geral, temos:
- $ A = 0,024 $
- $ k = 52,3 $ rad/m
- $ \omega = 480 $ rad/s
Passo 4
Para encontrar a distância entre dois nós adjacentes, precisamos entender onde esses nós ocorrem. Os nós acontecem onde a amplitude da onda é sempre zero, ou seja, onde:
A solução para essa equação ocorre quando:
Onde $ n $ é um número inteiro (1, 2, 3, …).
Passo 5
Vamos resolver para $ x $:
A distância entre dois nós adjacentes, que chamamos de meia onda ou $ \frac{\lambda}{2} $, é a diferença entre $ x $ para $ n $ e $ n+1 $:
Então, a distância entre dois nós adjacentes é:
Passo 6
Substituindo o valor de $ k = 52,3 $ rad/m:
Calculando:
Resposta
A distância entre dois nós adjacentes na corda é aproximadamente 0,0602 metros.