Uma corda vibra segundo uma onda harmônica descrita pela equação:
y(x, t)=0.1 sin (4 pi x-40 pi t)
onde y(x, t) está em metros, x em metros, e t em segundos. Determine:
a) A amplitude, o número de onda k, a frequência angular omega, e a velocidade de propagação da onda.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos dá a equação de uma onda harmônica:
y(x, t) = 0.1 sin (4 pi x - 40 pi t)
Nosso objetivo é encontrar a amplitude, o número de onda k, a frequência angular omega e a velocidade de propagação da onda. Para isso, vamos usar conceitos básicos de ondulatória, que nos ajudam a entender como as ondas se comportam e se movem.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a amplitude da onda. A amplitude é o valor máximo que a função y(x, t) alcança, ou seja, a “altura” da onda.
Na nossa equação:
y(x, t) = 0.1 sin (4 pi x - 40 pi t)
A amplitude A é o coeficiente que multiplica o seno, que aqui é 0,1 metros.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o número de onda k. O número de onda nos diz quantas ondas cabem em um metro e está relacionado ao comprimento de onda lambda.
Na equação geral da onda:
y(x, t) = A sin (kx - omega t)
Comparando com a nossa equação, vemos que:
k = 4 pi , rad/m
Então, o número de onda k é 4pi radianos por metro.

Passo 4

Em seguida, vamos determinar a frequência angular omega. A frequência angular está relacionada a quantas oscilações a onda faz por segundo e está conectada ao período da onda.
Na equação geral, omega é o coeficiente que multiplica o tempo t. Comparando com a nossa equação:
omega = 40 pi , rad/s
Portanto, a frequência angular omega é 40pi radianos por segundo.

Passo 5

Por fim, vamos calcular a velocidade de propagação da onda v. A velocidade de uma onda pode ser encontrada usando a relação entre a frequência angular omega e o número de onda k:
v = omegak
Substituindo os valores que encontramos:
v = 40 pi4 pi = 10 , m/s
Então, a velocidade de propagação da onda é 10 metros por segundo.

Resposta

  • Amplitude: 0,1 metros
  • Número de onda k: 4pi rad/m
  • Frequência angular omega: 40pi rad/s
  • Velocidade de propagação: 10 m/s

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