Um Medidor Venturi é usado para medir a velocidade de um fluido em um cano. O medidor é ligado entre dois segmentos do cano figura 26 . O cano possui seção reta
na entrada e na saída. Numa região intermediária é feito um estrangulamento, reduzindo a área da seção reta para a. (a) Usando a equação de Bernoulli e da continuidade, mostre que a velocidade V na entrada do cano por ser determinada pela seguinte expressão:
, onde
é a diferença de pressão medida entre o a região estrangulada de seção reta
e a região do cano de seção reta
. (b) Sendo
e
, qual é a vazão da água? qual é a vazão da água?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o Medidor Venturi! O enunciado fala sobre medir a velocidade de um fluido usando um Venturi, que é um dispositivo que tem uma parte estreita para ajudar nessa medição. Vamos usar a equação de Bernoulli e a equação da continuidade para chegar na fórmula da velocidade $ V $ na entrada do cano. Precisamos entender um pouco dessas duas equações para seguir em frente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a equação de Bernoulli. Ela nos diz que, para um fluido em movimento, a soma da pressão, da energia cinética e da energia potencial por unidade de volume é constante ao longo de uma linha de fluxo. Aqui vamos considerar que a altura não muda, então a energia potencial não entra na conta. A equação fica assim:
Passo 3
Agora, a equação da continuidade afirma que, para um fluido incompressível, o produto da área da seção transversal $ A $ pela velocidade $ V $ é constante ao longo do cano. Ou seja:
Como o Venturi tem duas áreas: $ A $ na entrada e saída, e $ a $ na parte estreita, podemos escrever:
Passo 4
Vamos resolver a equação da continuidade para encontrar $ V_2 $ em função de $ V $:
Passo 5
Agora, vamos substituir $ V_2 $ na equação de Bernoulli:
Aqui, $ P_A $ é a pressão na área $ A $ e $ P_a $ na área $ a $. A diferença de pressão $ \Delta p = P_A - P_a $.
Passo 6
Subtraindo $ P_a $ de ambos os lados e reorganizando:
Passo 7
Agora, resolvemos para $ V $:
Passo 8
Multiplicando numerador e denominador por $ a^2 $:
Pronto! Chegamos na expressão que nos foi pedida.
Passo 9
Agora vamos calcular a vazão da água com os valores fornecidos:
- Densidade $ \rho = 1,0 \ \mathrm{g/cm^3} $
- Área na entrada e saída $ A = 64 \ \mathrm{cm^2} $
- Área na parte estrangulada $ a = 32 \ \mathrm{cm^2} $
- Diferença de pressão $ \Delta p = 14 \ \mathrm{KP a} $
Primeiro, precisamos converter as unidades para o sistema SI:
- $ \rho = 1,0 \ \mathrm{g/cm^3} = 1000 \ \mathrm{kg/m^3} $
- Áreas: $ A = 64 \ \mathrm{cm^2} = 64 \times 10^{-4} \ \mathrm{m^2} = 0,0064 \ \mathrm{m^2} $
- $ a = 32 \ \mathrm{cm^2} = 32 \times 10^{-4} \ \mathrm{m^2} = 0,0032 \ \mathrm{m^2} $
- $ \Delta p = 14 \ \mathrm{KP a} = 14 \times 10^3 \ \mathrm{Pa} $ (assumindo que “KP a” significa kilopascal)
Passo 10
Vamos substituir esses valores na fórmula da velocidade:
Passo 11
Calculando os termos:
- $ a^2 = (0,0032)^2 = 1,024 \times 10^{-5} \ \mathrm{m^4} $
- $ A^2 = (0,0064)^2 = 4,096 \times 10^{-5} \ \mathrm{m^4} $
- $ a^2 - A^2 = 1,024 \times 10^{-5} - 4,096 \times 10^{-5} = -3,072 \times 10^{-5} \ \mathrm{m^4} $
Note que a diferença deu negativa, mas como estamos trabalhando com velocidade, o módulo será considerado.
Passo 12
Agora substituímos os valores:
Aqui percebemos um erro, pois a raiz de um número negativo não existe no contexto físico. Isso indica que devemos reconsiderar a ordem da diferença $ a^2 - A^2 $. Vamos refazer essa parte.
Passo 13
Na verdade, a diferença correta deve ser $ A^2 - a^2 $:
Agora, substituímos:
Passo 14
Finalmente, a vazão $ Q $ é dada por:
Convertendo para litros por segundo:
Resposta
A vazão da água é aproximadamente 19,5 litros por segundo.