As cordas de um violino, respectivamente mais leve e mais pesada, tem densidades lineares de
e
. Qual é a relação dos diâmetros dessas cordas, da mais pesada para a mais leve, supondo que são feitas do mesmo material?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre as cordas de um violino que têm densidades lineares diferentes: uma mais leve com 3,0 g/m e uma mais pesada com 2,9 g/m. O conteúdo que vamos precisar aqui é sobre densidade linear e geometria das cordas. Precisamos descobrir como os diâmetros dessas cordas se relacionam, assumindo que são feitas do mesmo material.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é densidade linear. Densidade linear (μ) é a massa por unidade de comprimento de uma corda, ou seja, μ = massa/metros. No nosso caso, temos duas cordas com densidades lineares diferentes.
Passo 3
Como as cordas são feitas do mesmo material, a densidade volumétrica (ρ) delas é a mesma. A densidade linear está relacionada à densidade volumétrica e à área da seção transversal da corda. A fórmula é:
Onde:
- μ é a densidade linear,
- ρ é a densidade volumétrica,
- A é a área da seção transversal.
Passo 4
Assumindo que as cordas são cilíndricas, a área da seção transversal (A) é calculada por:
Onde d é o diâmetro da corda. Substituindo na fórmula da densidade linear:
Passo 5
Queremos encontrar a relação entre os diâmetros das duas cordas. Vamos chamar de μ₁ = 3,0 g/m e μ₂ = 2,9 g/m as densidades lineares das cordas mais leve e mais pesada, respectivamente. A relação dos diâmetros (d₂/d₁) será:
Passo 6
Agora é só substituir os valores:
Resposta
A relação dos diâmetros da corda mais pesada para a mais leve é aproximadamente 0,983. Ou seja, o diâmetro da corda mais pesada é cerca de 98,3% do diâmetro da corda mais leve.