Exemplo 11
Determine a equação cartesiana da reta
paralela à reta
que passa pelo ponto
.
Passo 1
O enunciado dá:
- A reta
definida por . - O ponto
.
O que se pede: - Determinar a equação cartesiana da reta
que é paralela a e passa por .
Passo 2
Lembrete importante (passo-a-passo didático): uma reta na forma
pode ser escrita isolando
como
Nessa forma, o coeficiente de
, isto é
, é a inclinação (declive, ou coeficiente angular) da reta. Aqui cada símbolo significa:
-
e são os coeficientes das variáveis e na forma geral; -
é a constante; - a inclinação
é .
Aplicando isso a
, obtemos a inclinação
Passo 3
Como
é paralela a
, elas têm a mesma inclinação. Portanto a inclinação de
é
Para escrever a reta que tem inclinação
e passa por
usamos a forma ponto-inclinação:
onde
é a inclinação,
e
são as coordenadas do ponto dado.
Aqui
e
. Substituindo:
Passo 4
Agora vamos transformar essa equação numa forma cartesiana padrão (coeficientes inteiros). Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Distribuindo o
no lado direito:
Passando todos os termos para o lado esquerdo:
Passo 5
Verificações rápidas (boas práticas para a prova):
- Verificar que
é paralela a : comparar coeficientes das formas — ambas têm os mesmos coeficientes e , logo mesmos coeficientes normais e mesmo declive . - Verificar que
pertence a : substituir , em dá , que coincide com o lado direito; portanto o ponto está na reta.
Dica rápida para a prova: além do método do declive, dá para ver
como vetor normal à reta
. A reta paralela terá o mesmo vetor normal, então a equação geral é
, que leva direto a
quando
.