Exemplo 11

Determine a equação cartesiana da reta r_{2} paralela à reta r_{1}: 2 x+3 y=6 que passa pelo ponto A=(1,0).

Passo 1

O enunciado dá:
  • A reta r_{1} definida por 2x+3y=6.
  • O ponto A=(1,0).
    O que se pede:
  • Determinar a equação cartesiana da reta r_{2} que é paralela a r_{1} e passa por A.

Passo 2

Lembrete importante (passo-a-passo didático): uma reta na forma
ax+by=c
pode ser escrita isolando y como
y=-\frac{a}{b}x+\frac{c}{b}.
Nessa forma, o coeficiente de x, isto é -\dfrac{a}{b}, é a inclinação (declive, ou coeficiente angular) da reta. Aqui cada símbolo significa:
  • a e b são os coeficientes das variáveis x e y na forma geral;
  • c é a constante;
  • a inclinação m é m=-\dfrac{a}{b}.
Aplicando isso a r_{1}: 2x+3y=6, obtemos a inclinação
m_{1}=-\frac{2}{3}.

Passo 3

Como r_{2} é paralela a r_{1}, elas têm a mesma inclinação. Portanto a inclinação de r_{2} é
m_{2}=-\frac{2}{3}.
Para escrever a reta que tem inclinação m e passa por (x_{0},y_{0}) usamos a forma ponto-inclinação:
y-y_{0}=m(x-x_{0}),
onde m é a inclinação, x_{0} e y_{0} são as coordenadas do ponto dado.
Aqui m=-\dfrac{2}{3} e (x_{0},y_{0})=(1,0). Substituindo:
y-0=-\frac{2}{3}\bigl(x-1\bigr).

Passo 4

Agora vamos transformar essa equação numa forma cartesiana padrão (coeficientes inteiros). Multiplicando ambos os lados por 3 para eliminar o denominador:
3y=-2\bigl(x-1\bigr).
Distribuindo o -2 no lado direito:
3y=-2x+2.
Passando todos os termos para o lado esquerdo:
2x+3y=2.

Passo 5

Verificações rápidas (boas práticas para a prova):
  • Verificar que r_{2} é paralela a r_{1}: comparar coeficientes das formas 2x+3y=\text{constante} — ambas têm os mesmos coeficientes 2 e 3, logo mesmos coeficientes normais e mesmo declive m=-\dfrac{2}{3}.
  • Verificar que A=(1,0) pertence a r_{2}: substituir x=1, y=0 em 2x+3y 2\cdot1+3\cdot0=2, que coincide com o lado direito; portanto o ponto está na reta.
Dica rápida para a prova: além do método do declive, dá para ver (2,3) como vetor normal à reta r_{1}. A reta paralela terá o mesmo vetor normal, então a equação geral é 2(x-x_0)+3(y-y_0)=0, que leva direto a 2x+3y=2 quando (x_0,y_0)=(1,0).

Resposta

2x+3y=2

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