Corolário 2
As retas
são paralelas se, e somente se, existe
, tal que
Passo 1
O enunciado nos dá duas retas no plano:
e pede para provar a equivalência lógica: "as retas
e
são paralelas se, e somente se, existe
,
, tal que
e
".\n\nInformações relevantes fornecidas:
- Coeficientes das retas:
para e para . - Objetivo: provar a bicondicional (duas implicações): (i) se
e são paralelas então existem com e ; (ii) se existe com e então e são paralelas.
Passo 2
Vamos lembrar / aprender o conceito-chave que vamos usar: para a reta dada por
o vetor
é um vetor normal à reta — isto é, um vetor perpendicular a qualquer vetor direção da reta. Intuição: a equação
diz que o produto escalar do vetor posição
com
é constante; portanto
é perpendicular à direção da reta.\n\nConsequência prática importante (fato usado com frequência em provas): duas retas são paralelas se, e somente se, seus vetores normais são colineares (proporcionais). Em termos dos coeficientes:
e
são paralelas exatamente quando existe
tal que
. Porém precisamos também distinguir o caso “mesma reta” do caso “retas paralelas distintas”: se além da proporcionalidade dos normais tivermos
, então a segunda equação é simplesmente a primeira multiplicada por
, logo as retas coincidem. Por isso a condição
garante que são retas distintas (paralelas, sem interseção).
Passo 3
Provar a implicação "se as retas são paralelas então existe
com
".\n\nSuponha que
e
sejam paralelas. Então existe um vetor direção não nulo
comum às duas retas. Esse vetor direção satisfaz
e
porque o produto escalar do vetor normal de cada reta com um vetor direção da respectiva reta é zero.\n\nMultiplique a primeira igualdade por
e a segunda por
e subtraia:
Desenvolvendo:
Analogamente, multiplicando a primeira por
e a segunda por
e subtraindo obtemos
Como
é não nulo, pelo menos um entre
e
é diferente de zero; portanto devemos ter
Isto é exatamente a condição de determinante nulo entre os vetores normais, e implica que
e
são proporcionais a
e
: existe
tal que
A constante
não pode ser zero porque se
então
e a equação
não representaria uma reta válida (os coeficientes
não podem ambos ser zero numa equação de reta). Assim
. Isso prova a existência de
com
.
Passo 4
Analisar a condição sobre
. Se além de
tivermos
, então a equação de
é
o que é simplesmente
vezes a equação de
. Portanto as duas equações representam exatamente a mesma reta (todos os pontos que satisfazem uma satisfazem a outra). Logo, para que as retas sejam paralelas e distintas é necessário que
. Isso conclui que a condição completa necessária é: existe
com
e
.
Passo 5
Provar a implicação recíproca: se existe
com
e
, então
e
são paralelas.\n\nSuponha
com
e
. Se as duas retas tivessem um ponto de interseção
, então esse ponto satisfaria simultaneamente
e
Multiplicando a primeira por
e subtraindo da segunda, usando
, obtemos
O lado esquerdo é zero porque
e
, logo
Isso contradiz a hipótese
. Portanto não existe ponto de interseção: as retas não se cruzam. Como também não são a mesma reta (pela desigualdade em
), concluímos que são retas paralelas distintas. Assim a condição é suficiente.
Passo 6
Resumo da prova lógica: mostramos que paralelo
vetores normais proporcionais e constantes não proporcionais; e que vetores normais proporcionais com constantes não proporcionais
retas paralelas. Isso prova a bicondicional desejada.\n\nDica prática para a prova: para verificar rapidamente se duas retas
e
são paralelas, faça uma (qualquer) das ações:
- verificar se
(determinante nulo). Se sim, os normais são proporcionais; depois compare com o múltiplo correspondente para ver se são distintas; - ou tentar determinar
por (se ) ou (se ) e checar se e .\n\nExemplo concreto e rápido: e . Aqui com , e , logo as retas são paralelas e distintas.
Resposta
As retas
e
são paralelas se, e somente se, existe
,
, tal que
e
.