Corolário 2

As retas r_{1}: a x+b y=c \quad e \quad r_{2}: a^{\prime} x+b^{\prime} y=c^{\prime} são paralelas se, e somente se, existe \lambda \in \mathbb{R}, \lambda \neq 0, tal que
\left(a^{\prime}, b^{\prime}\right)=\lambda(a, b) \quad e \quad c^{\prime} \neq \lambda c

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas no plano:
r_{1}: a x+b y=c
r_{2}: a^{\prime} x+b^{\prime} y=c^{\prime}
e pede para provar a equivalência lógica: "as retas r_{1} e r_{2} são paralelas se, e somente se, existe \lambda\in\mathbb{R}, \lambda\neq 0, tal que \left(a^{\prime},b^{\prime}\right)=\lambda(a,b) e c^{\prime}\neq\lambda c".\n\nInformações relevantes fornecidas:
  • Coeficientes das retas: a,b,c para r_{1} e a',b',c' para r_{2}.
  • Objetivo: provar a bicondicional (duas implicações): (i) se r_{1} e r_{2} são paralelas então existem \lambda\neq 0 com (a',b')=\lambda(a,b) e c'\neq\lambda c; (ii) se existe \lambda\neq 0 com (a',b')=\lambda(a,b) e c'\neq\lambda c então r_{1} e r_{2} são paralelas.

Passo 2

Vamos lembrar / aprender o conceito-chave que vamos usar: para a reta dada por a x+b y=c o vetor n=(a,b) é um vetor normal à reta — isto é, um vetor perpendicular a qualquer vetor direção da reta. Intuição: a equação a x+b y=c diz que o produto escalar do vetor posição (x,y) com n=(a,b) é constante; portanto n é perpendicular à direção da reta.\n\nConsequência prática importante (fato usado com frequência em provas): duas retas são paralelas se, e somente se, seus vetores normais são colineares (proporcionais). Em termos dos coeficientes: r_{1} e r_{2} são paralelas exatamente quando existe \lambda\neq 0 tal que (a',b')=\lambda(a,b). Porém precisamos também distinguir o caso “mesma reta” do caso “retas paralelas distintas”: se além da proporcionalidade dos normais tivermos c'=\lambda c, então a segunda equação é simplesmente a primeira multiplicada por \lambda, logo as retas coincidem. Por isso a condição c'\neq\lambda c garante que são retas distintas (paralelas, sem interseção).

Passo 3

Provar a implicação "se as retas são paralelas então existe \lambda\neq 0 com (a',b')=\lambda(a,b)".\n\nSuponha que r_{1} e r_{2} sejam paralelas. Então existe um vetor direção não nulo d=(u,v) comum às duas retas. Esse vetor direção satisfaz
a u + b v = 0
e
a' u + b' v = 0,
porque o produto escalar do vetor normal de cada reta com um vetor direção da respectiva reta é zero.\n\nMultiplique a primeira igualdade por a' e a segunda por a e subtraia:
a'(a u + b v) - a(a' u + b' v)=0.
Desenvolvendo:
(a'a - a a')u + (a' b - a b')v = (a' b - a b')v = 0.
Analogamente, multiplicando a primeira por b' e a segunda por b e subtraindo obtemos
(a' b - a b')u = 0.
Como d=(u,v) é não nulo, pelo menos um entre u e v é diferente de zero; portanto devemos ter
a' b - a b' = 0.
Isto é exatamente a condição de determinante nulo entre os vetores normais, e implica que a' e b' são proporcionais a a e b: existe \lambda tal que
\left(a',b'\right)=\lambda(a,b).
A constante \lambda não pode ser zero porque se \lambda=0 então (a',b')=(0,0) e a equação a' x+b' y=c' não representaria uma reta válida (os coeficientes a',b' não podem ambos ser zero numa equação de reta). Assim \lambda\neq 0. Isso prova a existência de \lambda\neq 0 com (a',b')=\lambda(a,b).

Passo 4

Analisar a condição sobre c'. Se além de (a',b')=\lambda(a,b) tivermos c'=\lambda c, então a equação de r_{2} é
a' x + b' y = c' \quad\Longleftrightarrow\quad \lambda a x + \lambda b y = \lambda c,
o que é simplesmente \lambda vezes a equação de r_{1}. Portanto as duas equações representam exatamente a mesma reta (todos os pontos que satisfazem uma satisfazem a outra). Logo, para que as retas sejam paralelas e distintas é necessário que c'\neq \lambda c. Isso conclui que a condição completa necessária é: existe \lambda\neq 0 com (a',b')=\lambda(a,b) e c'\neq\lambda c.

Passo 5

Provar a implicação recíproca: se existe \lambda\neq 0 com (a',b')=\lambda(a,b) e c'\neq\lambda c, então r_{1} e r_{2} são paralelas.\n\nSuponha (a',b')=\lambda(a,b) com \lambda\neq 0 e c'\neq\lambda c. Se as duas retas tivessem um ponto de interseção (x_{0},y_{0}), então esse ponto satisfaria simultaneamente
a x_{0}+b y_{0}=c
e
a' x_{0}+b' y_{0}=c'.
Multiplicando a primeira por \lambda e subtraindo da segunda, usando \left(a',b'\right)=\lambda(a,b), obtemos
\bigl(a' x_{0}+b' y_{0}\bigr) - \lambda\bigl(a x_{0}+b y_{0}\bigr) = c' - \lambda c.
O lado esquerdo é zero porque a'=\lambda a e b'=\lambda b, logo
0 = c' - \lambda c.
Isso contradiz a hipótese c'\neq\lambda c. Portanto não existe ponto de interseção: as retas não se cruzam. Como também não são a mesma reta (pela desigualdade em c), concluímos que são retas paralelas distintas. Assim a condição é suficiente.

Passo 6

Resumo da prova lógica: mostramos que paralelo \Rightarrow vetores normais proporcionais e constantes não proporcionais; e que vetores normais proporcionais com constantes não proporcionais \Rightarrow retas paralelas. Isso prova a bicondicional desejada.\n\nDica prática para a prova: para verificar rapidamente se duas retas a x+b y=c e a' x+b' y=c' são paralelas, faça uma (qualquer) das ações:
  • verificar se a'b - a b' = 0 (determinante nulo). Se sim, os normais são proporcionais; depois compare c' com o múltiplo correspondente para ver se são distintas;
  • ou tentar determinar \lambda por \lambda=a'/a (se a\neq 0) ou \lambda=b'/b (se b\neq 0) e checar se (a',b')=\lambda(a,b) e c'\neq\lambda c.\n\nExemplo concreto e rápido: r_{1}:2x+3y=5 e r_{2}:4x+6y=7. Aqui (a',b')=2(a,b) com \lambda=2, e c'=7\neq 2\cdot 5=10, logo as retas são paralelas e distintas.

Resposta

As retas r_{1}: a x+b y=c e r_{2}: a^{\prime} x+b^{\prime} y=c^{\prime} são paralelas se, e somente se, existe \lambda\in\mathbb{R}, \lambda\neq 0, tal que \left(a^{\prime}, b^{\prime}\right)=\lambda(a, b) e c^{\prime}\neq \lambda c.

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