Proposição 1

As retas r_{1}: a x+b y=c e r_{2}: a^{\prime} x+b^{\prime} y=c^{\prime} são paralelas ou coincidentes se, e somente se, existe \lambda \neq 0 tal que \left(a^{\prime}, b^{\prime}\right)=\lambda(a, b), isto é, se e somente se, seus vetores normais são múltiplos.

Prova.

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas no plano:
r_{1}: a x+b y=c
r_{2}: a^{\prime} x+b^{\prime} y=c^{\prime}
O que precisa ser provado é a equivalência entre duas afirmações:
  • (A) As retas r_{1} e r_{2} são paralelas ou coincidentes.
  • (B) Existe \lambda\neq 0 tal que \left(a^{\prime},b^{\prime}\right)=\lambda(a,b) (ou seja, os vetores normais são múltiplos).
Vou provar que (B) implica (A) e que (A) implica (B). Aqui ficam listadas claramente as informações dadas: os coeficientes (a,b) e (a',b') são os vetores normais das retas; não se admite o caso degenerado onde ambos a=b=0 (isso não define uma reta).

Passo 2

Definição e observação básica (útil para a prova).
  • Para a reta \,a x+b y=c, o vetor normal é n=(a,b). Isso significa que n é perpendicular a qualquer vetor direcional (vetor tangente) à reta.
  • Um vetor que dá a direção da reta pode ser escolhido como d=(-b,a). De fato, n\cdot d=a(-b)+b(a)=0, logo d é ortogonal a n e aponta ao longo da reta.
  • Analogamente, para \,a' x+b' y=c' tomamos n'=(a',b') e d'=(-b',a').
Esta escolha de d e d' é conveniente porque é explícita e simples de manipular.

Passo 3

Prova de (B) \Rightarrow (A): suponha que exista \lambda\neq 0 com
\left(a',b'\right)=\lambda(a,b).
Então a segunda equação pode ser escrita como
\lambda(a x+b y)=c'.
Se c'=\lambda c, então a equação acima é exatamente \lambda vezes a equação de r_{1}, ou seja, as duas equações representam a mesma reta; portanto r_{1} e r_{2} são coincidentes.
Se, em vez disso, c'\neq\lambda c, suponha por contradição que exista um ponto (x,y) que satisfaça ambas as equações. Subtraindo \lambda vezes a equação de r_{1} da equação de r_{2} obtemos
0\cdot x+0\cdot y=c'-\lambda c,
isto é,
0=c'-\lambda c,
o que contradiz c'\neq\lambda c. Logo não existe ponto de interseção: as retas são distintas e paralelas. Concluímos que (B) implica (A).

Passo 4

Prova de (A) \Rightarrow (B): suponha que r_{1} e r_{2} sejam paralelas ou coincidentes. Isso significa que seus vetores direção são proporcionais, ou seja, existe \mu\neq 0 tal que
d'=\mu d.
Usando as escolhas d=(-b,a) e d'=(-b',a'), a igualdade d'=\mu d
(-b',a')=\mu(-b,a).
Comparando coordenadas obtemos
a'=\mu a,\qquad b'=\mu b.
Portanto
\left(a',b'\right)=\mu(a,b),
com \mu\neq 0. Isso é exatamente a afirmação (B) (troque-se o nome do escalar \mu por \lambda se desejar). Assim (A) implica (B).

Passo 5

Observações finais e fechamento didático.
  • A ideia-chave é que em \mathbb{R}^{2} o conjunto de vetores ortogonais a um dado vetor não-nulo é uma reta passando pela origem (um subespaço unidimensional). Logo se duas retas do plano têm a mesma direção (são paralelas ou coincidentes), os seus vetores normais têm de apontar na mesma reta através da origem, isto é, são múltiplos um do outro.
  • No caso de coincidência obtém-se multiplicidade também do termo independente: se as equações representam exatamente a mesma reta então existe \lambda\neq 0 tal que (a',b',c')=\lambda(a,b,c). No enunciado pediam apenas a proporcionalidade dos vetores normais, que foi mostrada.

Resposta

A proposição é verdadeira: r_{1} e r_{2} são paralelas ou coincidentes se, e somente se, existe \lambda\neq 0 tal que \left(a',b'\right)=\lambda(a,b).

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