Proposição 1
As retas
e
são paralelas ou coincidentes se, e somente se, existe
tal que
, isto é, se e somente se, seus vetores normais são múltiplos.
Prova.
Passo 1
O enunciado nos dá duas retas no plano:
O que precisa ser provado é a equivalência entre duas afirmações:
- (A) As retas
e são paralelas ou coincidentes. - (B) Existe
tal que (ou seja, os vetores normais são múltiplos).
Vou provar que (B) implica (A) e que (A) implica (B). Aqui ficam listadas claramente as informações dadas: os coeficientes
e
são os vetores normais das retas; não se admite o caso degenerado onde ambos
(isso não define uma reta).
Passo 2
Definição e observação básica (útil para a prova).
- Para a reta
, o vetor normal é . Isso significa que é perpendicular a qualquer vetor direcional (vetor tangente) à reta. - Um vetor que dá a direção da reta pode ser escolhido como
. De fato, , logo é ortogonal a e aponta ao longo da reta. - Analogamente, para
tomamos e .
Esta escolha de
e
é conveniente porque é explícita e simples de manipular.
Passo 3
Prova de (B)
(A): suponha que exista
com
Então a segunda equação pode ser escrita como
Se
, então a equação acima é exatamente
vezes a equação de
, ou seja, as duas equações representam a mesma reta; portanto
e
são coincidentes.
Se, em vez disso,
, suponha por contradição que exista um ponto
que satisfaça ambas as equações. Subtraindo
vezes a equação de
da equação de
obtemos
isto é,
o que contradiz
. Logo não existe ponto de interseção: as retas são distintas e paralelas. Concluímos que (B) implica (A).
Passo 4
Prova de (A)
(B): suponha que
e
sejam paralelas ou coincidentes. Isso significa que seus vetores direção são proporcionais, ou seja, existe
tal que
Usando as escolhas
e
, a igualdade
dá
Comparando coordenadas obtemos
Portanto
com
. Isso é exatamente a afirmação (B) (troque-se o nome do escalar
por
se desejar). Assim (A) implica (B).
Passo 5
Observações finais e fechamento didático.
- A ideia-chave é que em
o conjunto de vetores ortogonais a um dado vetor não-nulo é uma reta passando pela origem (um subespaço unidimensional). Logo se duas retas do plano têm a mesma direção (são paralelas ou coincidentes), os seus vetores normais têm de apontar na mesma reta através da origem, isto é, são múltiplos um do outro. - No caso de coincidência obtém-se multiplicidade também do termo independente: se as equações representam exatamente a mesma reta então existe
tal que . No enunciado pediam apenas a proporcionalidade dos vetores normais, que foi mostrada.
Resposta
A proposição é verdadeira:
e
são paralelas ou coincidentes se, e somente se, existe
tal que
.