As retas r_{1}: a x+b y=c e r_{2}: a^{\prime} x+b^{\prime} y=c^{\prime} são perpendiculares se, e somente se, seus vetores normais \overrightarrow{w_{1}}=(a, b) e \overrightarrow{w_{2}}=\left(a^{\prime}, b^{\prime}\right) são perpendiculares, ou seja,
a a^{\prime}+b b^{\prime}=0 .
Passo 1
O enunciado dá duas retas
r_{1}: a x+b y=c
e
r_{2}: a' x+b' y=c'
e pede para mostrar que elas são perpendiculares se, e somente se, os vetores normais
Informações dadas que vamos usar: os coeficientes a,b e a',b' não são ambos nulos (caso contrário não definiriam uma reta). O que precisamos provar é a equivalência lógica entre “as retas são perpendiculares” e “a a' + b b' = 0”.
Passo 2
Definição e ideia fundamental (explicação didática):
Chamamos de vetor normal de uma reta qualquer vetor que seja perpendicular a qualquer vetor direção dessa reta. No enunciado já foi indicado que \overrightarrow{w_{1}}=(a,b) é um vetor normal da reta r_{1}, porque a equação a x+b y=c é exatamente a condição de produto escalar entre (a,b) e um ponto (x,y) constante.
Um vetor direção de r_{1} é qualquer vetor paralelo à própria reta; vamos construir um vetor direção explícito a partir do normal. Se um vetor (u,v) é direção de r_{1}, então deve valer
(a,b)\cdot(u,v)=a u + b v = 0,
pois direção e normal são perpendiculares.
Passo 3
Construção explícita do vetor direção de uma reta dada por a x+b y=c:
Tomemos o vetor \overrightarrow{v_{1}}=(b,-a).
Verifiquemos que ele é perpendicular ao normal (a,b):
(a,b)\cdot(b,-a)=a\cdot b + b\cdot(-a)=ab-ab=0.
Logo \overrightarrow{v_{1}}=(b,-a) é um vetor direção de r_{1}. Note que este vetor é não-nulo porque, como dito, a e b não são simultaneamente nulos. O mesmo raciocínio dá, para r_{2}, um vetor direção
\overrightarrow{v_{2}}=(b',-a'),
pois
(a',b')\cdot(b',-a')=a'b' - a'b'=0.
Passo 4
Produto escalar entre os vetores direção das duas retas:
Calculemos o produto escalar \overrightarrow{v_{1}}\cdot\overrightarrow{v_{2}}:
\overrightarrow{v_{1}}\cdot\overrightarrow{v_{2}}=(b,-a)\cdot(b',-a')=b b' + (-a)(-a')=b b' + a a'.
Portanto obtemos a identidade chave
\overrightarrow{v_{1}}\cdot\overrightarrow{v_{2}}=a a' + b b'.
Passo 5
Tradução geométrica para concluir a equivalência:
Duas retas são perpendiculares exatamente quando um vetor direção de uma é perpendicular a um vetor direção da outra. Em termos de produto escalar: r_{1}\perp r_{2} se, e somente se, \overrightarrow{v_{1}}\cdot\overrightarrow{v_{2}}=0.
Usando a identidade do Passo 4, isso equivale a
a a' + b b' = 0.
Como \overrightarrow{w_{1}}\cdot\overrightarrow{w_{2}}=(a,b)\cdot(a',b')=a a' + b b', a condição acima diz exatamente que os vetores normais são perpendiculares. Assim mostramos a bicondicional pedida: as retas são perpendiculares se, e somente se, seus vetores normais são perpendiculares, i.e., a a' + b b' = 0.
Passo 6
Observações e exemplos (para fixar a ideia):
Observação sobre casos especiais: se b=0 então \overrightarrow{v_{1}}=(0,-a) que ainda é um vetor direção não-nulo (porque a\neq 0 nesse caso), então o argumento vale para todas as retas legítimas. Não há necessidade de tratar vertical/horizontal separadamente quando se usa vetores e produto escalar.
Exemplo numérico rápido: para r_{1}:2x+3y=1 e r_{2}:3x-2y=5 temos