Corolário. Seja
uma função de classe
. O problema de valor inicial
possui a solução única
Passo 1
O enunciado pede a solução do problema de valor inicial para a equação de transporte
com condição inicial
, onde
é
. Vamos usar o método das características, que transforma a PDE num sistema de EDOs ao longo de curvas em
.
Passo 2
Pela teoria de características, ao longo de uma curva
no plano, devemos ter
A primeira equação diz como se deslocam as características, e a segunda diz que
é constante ao longo delas.
Passo 3
Integramos
onde
é a posição inicial da característica em
. E
Impondo a condição inicial
, concluímos
. Como ao tempo
chegamos em
, temos
.
Passo 4
Logo a solução ao ponto
é
Para ver unicidade, basta notar que se existisse outra solução
com mesma condição inicial, a diferença
satisfaria a mesma equação homogênea e
. Pelo mesmo argumento ao longo de características, teríamos
.