Corolário. Seja f: R longrightarrow R uma função de classe C^1. O problema de valor inicial
ut+c ux=0 & se x in R e t in R, u(x, 0)=f(x) & se x in R,
possui a solução única
u(x, t)=f(x-c t)

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial para a equação de transporte
ut + c,ux = 0,
com condição inicial u(x,0)=f(x), onde f é C^1. Vamos usar o método das características, que transforma a PDE num sistema de EDOs ao longo de curvas em (x,t).

Passo 2

Pela teoria de características, ao longo de uma curva tmapsto(x(t),u(t)) no plano, devemos ter
dxdt = c, dudt = 0
A primeira equação diz como se deslocam as características, e a segunda diz que u é constante ao longo delas.

Passo 3

Integramos
dxdt=c Longrightarrow x(t)=c,t + x0,
onde x0 é a posição inicial da característica em t=0. E
dudt=0 Longrightarrow u(t)=const = K
Impondo a condição inicial u(x0,0)=f(x0), concluímos K=f(x0). Como ao tempo t chegamos em x = c,t + x0, temos x0 = x - c,t.

Passo 4

Logo a solução ao ponto (x,t) é
u(x,t) ;=; f(x0) ;=; fl(x - c,tr)
Para ver unicidade, basta notar que se existisse outra solução v com mesma condição inicial, a diferença w=v-u satisfaria a mesma equação homogênea e w(x,0)=0. Pelo mesmo argumento ao longo de características, teríamos wequiv0.

Resposta

u(x,t)=fl(x-c,tr)

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