Encontre uma representação em série de potências para a função f abaixo e determine o intervalo de convergência:
f(x)=ln (11+3 x^2)

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de potências de
f(x)=lnl(1/(1+3x^2)r),
ou seja, de -ln(1+3x^2), e o intervalo de convergência. Vamos usar a série de Taylor de ln(1+u) em torno de u=0.

Passo 2

Reescrevendo a função, temos
f(x) = -ln(1+3x^2)

Passo 3

A expansão em série de potências de ln(1+u) é
ln(1+u)=sumn=1^infty(-1)^n-1,u^nn, |u|<1
Substituindo u=3x^2 e multiplicando por -1, obtemos
f(x) = -sumn=1^infty(-1)^n-1,(3x^2)^nn = sumn=1^infty(-1)^n,3^nn,x^2n

Passo 4

Para o raio de convergência aplicamos o teste da razão aos termos gerais anx^2n com an=(-1)^n3^n/n:
limntoinfty |an+1x^2(n+1)anx^2n| =limntoinfty3^n+1/(n+1)3^n/n;|x|^2 =3|x|^2
Logo a condição é
3|x|^2<1 Longrightarrow |x|<1raiz3

Passo 5

Em x=pm1/raiz3 temos 3x^2=1 e a série vira
sumn=1^infty(-1)^n1n,
que converge por critério de Leibniz. Portanto o intervalo de convergência é
-1raiz3,<= x<=,1raiz3

Resposta

f(x)=sumn=1^infty(-1)^n,3^nn,x^2n, -1raiz3<= x<=1raiz3

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