Um corpo de capacidade térmica C e temperatura inicial T_{i} é posto em sucessivo contato com n reservatórios térmicos. A diferença de temperatura entre dois reservatórios sucessivos é fixa: o primeiro reservatório tem temperatura T_{i}+\Delta T, e o último reservatório tem temperatura T_{f}=T_{i}+n \Delta T, ou seja, \Delta T=\frac{T_{f}-T_{i}}{n}. Calcule a variação de entropia do Universo nesse processo, e reflita sobre o que acontece no limite em que n \rightarrow \infty.
\bigcirc a. \quad C\left(\ln \frac{T_{f}}{T_{i}}-\sum_{i=1}^{n} \frac{\Delta T}{T_{i}+i \Delta T}\right)
\bigcirc b. \quad C \ln \left(1-\frac{T_{f}}{T_{i}}\right)
\bigcirc c. C\left(1-\sum_{i=1}^{n} \frac{T_{i}}{T_{i}+i \Delta T}\right)
\bigcirc d. C \frac{T_{f}-T_{i}}{\Delta T}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a variação de entropia do Universo ao colocar um corpo de capacidade térmica C e temperatura inicial T_{i} em contato sucessivo com n reservatórios. Dados importantes que o enunciado fornece e que precisamos listar claramente:
  • Temperatura inicial do corpo: T_{i}.
  • Temperatura final do último reservatório (e do corpo no fim): T_{f}=T_{i}+n\Delta T.
  • Diferença de temperatura entre reservatórios sucessivos: \Delta T=\dfrac{T_{f}-T_{i}}{n}.
  • O primeiro reservatório tem temperatura T_{i}+\Delta T; o i-ésimo reservatório tem temperatura T_{i}+i\Delta T, com i=1,2,\dots,n.
  • O corpo troca calor sucessivamente com cada reservatório, chegando em cada etapa à temperatura do reservatório com o qual é posto em contato.
  • O objetivo: calcular a variação de entropia total do Universo (corpo + todos os reservatórios) para esse processo e analisar o limite n\to\infty.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicadinho): a variação de entropia de um sistema que muda de temperatura de T_a para T_b com capacidade térmica constante C é dada por
\Delta S=\int_{T_a}^{T_b}\frac{C\,dT}{T}=C\ln\frac{T_b}{T_a}.
Aqui C é a capacidade térmica (quantidade de calor necessária para elevar a temperatura em uma unidade), e a fórmula vem de dS=\dfrac{\delta Q_{\text{rev}}}{T} e do fato de que, para o corpo, a variação de entropia depende só dos estados inicial e final (é uma função de estado). Mesmo que o processo de contato com cada reservatório seja irreversível localmente, a variação de entropia do corpo entre duas temperaturas é dada por essa integral.

Passo 3

Calculemos a variação de entropia do corpo ao ir de T_{i} até T_{f} passando pelos passos:
\Delta S_{\text{corpo}}=C\ln\frac{T_{f}}{T_{i}}.
Explicação: isto decorre diretamente da fórmula do passo anterior, aplicando T_a=T_{i} e T_b=T_{f}. Note que não precisamos somar etapa por etapa para o corpo, porque o log telescopa se fizéssemos.

Passo 4

Agora vamos ver o calor trocado em cada etapa com os reservatórios. Na etapa i o corpo aquece de T_{i}+(i-1)\Delta T até T_{i}+i\Delta T, ou seja, aumenta a temperatura em \Delta T. Como C é constante, o calor trocado do reservatório i para o corpo é
Q_{i}=C\Delta T.
Sinal: quando o corpo aquece, o reservatório perde calor, então o reservatório i entrega Q_{i} ao corpo e sua variação de energia é -Q_{i}.

Passo 5

Variação de entropia de cada reservatório i: como um reservatório está à temperatura constante T_{i}+i\Delta T, sua variação de entropia por ter cedido calor Q_{i} é
\Delta S_{\text{res},i}=-\frac{Q_{i}}{T_{i}+i\Delta T}=-\frac{C\Delta T}{T_{i}+i\Delta T}.
Explicação: para um reservatório ideal que mantém temperatura constante, \Delta S=\dfrac{Q_{\text{absorvido}}}{T_{\text{res}}}; aqui o reservatório perde calor, logo o sinal negativo.

Passo 6

Somando a entropia de todos os reservatórios e a do corpo obtemos a variação total da entropia do Universo:
\Delta S_{\text{univ}}=\Delta S_{\text{corpo}}+\sum_{i=1}^{n}\Delta S_{\text{res},i} = C\ln\frac{T_{f}}{T_{i}}-\sum_{i=1}^{n}\frac{C\Delta T}{T_{i}+i\Delta T}.
Fatorando C:
\Delta S_{\text{univ}}=C\left(\ln\frac{T_{f}}{T_{i}}-\sum_{i=1}^{n}\frac{\Delta T}{T_{i}+i\Delta T}\right).
Comentário intuitivo: a primeira parcela é a entropia ganha pelo corpo; a segunda parcela é a entropia perdida pelos reservatórios.

Passo 7

Verificação de sinal e comportamento para \,n finito: a função f(T)=1/T é decrescente. A soma \sum_{i=1}^{n}\dfrac{\Delta T}{T_{i}+i\Delta T} é exatamente a soma de Riemann direita para a integral \int_{T_{i}}^{T_{f}}\dfrac{dT}{T} com partição de tamanho \Delta T. Para uma função decrescente, a soma de Riemann direita é menor ou igual à integral, então
\sum_{i=1}^{n}\frac{\Delta T}{T_{i}+i\Delta T}\le \int_{T_{i}}^{T_{f}}\frac{dT}{T}=\ln\frac{T_{f}}{T_{i}}.
Portanto \Delta S_{\text{univ}}\ge 0 para todo n finito, conforme a segunda lei. Em palavras simples: o processo composto é irreversível e produz entropia positiva, exceto no limite abaixo.

Passo 8

Limite n\to\infty: quando n\to\infty, temos \Delta T\to 0 e a soma
\sum_{i=1}^{n}\frac{\Delta T}{T_{i}+i\Delta T}
tende para a integral \int_{T_{i}}^{T_{f}}\dfrac{dT}{T}=\ln\dfrac{T_{f}}{T_{i}} (é precisamente a definição de soma de Riemann). Logo no limite
\lim_{n\to\infty}\Delta S_{\text{univ}}=C\left(\ln\frac{T_{f}}{T_{i}}-\ln\frac{T_{f}}{T_{i}}\right)=0.
Interpretação física: ao aumentar n e fazer os degraus de temperatura cada vez menores, o processo se aproxima de um aquecimento quasiestático reversível, e a produção de entropia tende a zero.

Resposta

C\left(\ln \frac{T_{f}}{T_{i}}-\sum_{i=1}^{n} \frac{\Delta T}{T_{i}+i \Delta T}\right)

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