Um corpo de capacidade térmica
e temperatura inicial
é posto em sucessivo contato com
reservatórios térmicos. A diferença de temperatura entre dois reservatórios sucessivos é fixa: o primeiro reservatório tem temperatura
, e o último reservatório tem temperatura
, ou seja,
. Calcule a variação de entropia do Universo nesse processo, e reflita sobre o que acontece no limite em que
.
a.
b.
c.
d.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a variação de entropia do Universo ao colocar um corpo de capacidade térmica
e temperatura inicial
em contato sucessivo com
reservatórios. Dados importantes que o enunciado fornece e que precisamos listar claramente:
- Temperatura inicial do corpo:
. - Temperatura final do último reservatório (e do corpo no fim):
. - Diferença de temperatura entre reservatórios sucessivos:
. - O primeiro reservatório tem temperatura
; o -ésimo reservatório tem temperatura , com . - O corpo troca calor sucessivamente com cada reservatório, chegando em cada etapa à temperatura do reservatório com o qual é posto em contato.
- O objetivo: calcular a variação de entropia total do Universo (corpo + todos os reservatórios) para esse processo e analisar o limite
.
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicadinho): a variação de entropia de um sistema que muda de temperatura de
para
com capacidade térmica constante
é dada por
Aqui
é a capacidade térmica (quantidade de calor necessária para elevar a temperatura em uma unidade), e a fórmula vem de
e do fato de que, para o corpo, a variação de entropia depende só dos estados inicial e final (é uma função de estado). Mesmo que o processo de contato com cada reservatório seja irreversível localmente, a variação de entropia do corpo entre duas temperaturas é dada por essa integral.
Passo 3
Calculemos a variação de entropia do corpo ao ir de
até
passando pelos passos:
Explicação: isto decorre diretamente da fórmula do passo anterior, aplicando
e
. Note que não precisamos somar etapa por etapa para o corpo, porque o log telescopa se fizéssemos.
Passo 4
Agora vamos ver o calor trocado em cada etapa com os reservatórios. Na etapa
o corpo aquece de
até
, ou seja, aumenta a temperatura em
. Como
é constante, o calor trocado do reservatório
para o corpo é
Sinal: quando o corpo aquece, o reservatório perde calor, então o reservatório
entrega
ao corpo e sua variação de energia é
.
Passo 5
Variação de entropia de cada reservatório
: como um reservatório está à temperatura constante
, sua variação de entropia por ter cedido calor
é
Explicação: para um reservatório ideal que mantém temperatura constante,
; aqui o reservatório perde calor, logo o sinal negativo.
Passo 6
Somando a entropia de todos os reservatórios e a do corpo obtemos a variação total da entropia do Universo:
Fatorando
:
Comentário intuitivo: a primeira parcela é a entropia ganha pelo corpo; a segunda parcela é a entropia perdida pelos reservatórios.
Passo 7
Verificação de sinal e comportamento para
finito: a função
é decrescente. A soma
é exatamente a soma de Riemann direita para a integral
com partição de tamanho
. Para uma função decrescente, a soma de Riemann direita é menor ou igual à integral, então
Portanto
para todo
finito, conforme a segunda lei. Em palavras simples: o processo composto é irreversível e produz entropia positiva, exceto no limite abaixo.
Passo 8
Limite
: quando
, temos
e a soma
tende para a integral
(é precisamente a definição de soma de Riemann). Logo no limite
Interpretação física: ao aumentar
e fazer os degraus de temperatura cada vez menores, o processo se aproxima de um aquecimento quasiestático reversível, e a produção de entropia tende a zero.