Um corpo, inicialmente em repouso ( \theta=0 e \omega=0, para t=0 ), é acelerado numa trajetória circular de raio 1.3 m, segundo a equação \alpha=120 t^{2}-48 t+16. Determine a posição angular e a velocidade angular do corpo como funções do tempo, e as componentes tangencial e centrípeta de sua aceleração.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede certas grandezas:
  • Raio da trajetória: r=1{,}3\\ \text{m}.
  • Aceleração angular (em função do tempo): \alpha(t)=120\,t^{2}-48\,t+16.
  • Condições iniciais em t=0: \theta(0)=0 e \omega(0)=0.
  • Perguntas: determinar (a) a posição angular \theta(t) como função do tempo; (b) a velocidade angular \omega(t) como função do tempo; (c) as componentes tangencial e centrípeta da aceleração do corpo como funções do tempo.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • A aceleração angular \alpha(t) é a taxa de variação da velocidade angular. Matematicamente:
\alpha(t)=\frac{d\omega}{dt}.
Isto significa que, para obter \omega(t), devemos integrar \alpha(t) em relação a t, e depois aplicar a condição inicial para determinar a constante de integração.
  • A velocidade angular \omega(t) é a taxa de variação da posição angular:
\omega(t)=\frac{d\theta}{dt}.
Portanto, para obter \theta(t), integramos \omega(t) e aplicamos a condição inicial \theta(0).
  • Relações entre acelerações lineares e grandezas angulares (para movimento circular de raio r):
    • Componente tangencial da aceleração (relacionada à variação da módulo da velocidade linear):
    a_{\text{t}}(t)=r\,\alpha(t).
    • Componente centrípeta (radial) da aceleração (responsável por manter o movimento circular, depende do quadrado da velocidade angular):
    a_{\text{c}}(t)=r\,\omega(t)^{2}.
Aqui t é o tempo (em segundos), \alpha é aceleração angular (em \text{rad/s}^2), \omega é velocidade angular (em \text{rad/s}), \theta é posição angular (em radianos), r é o raio (em metros), a_{\text{t}} e a_{\text{c}} são acelerações em \text{m/s}^2.

Passo 3

Integração para obter \omega(t).
Começamos de
\alpha(t)=120\,t^{2}-48\,t+16=\frac{d\omega}{dt}.
Integramos termo a termo:
\omega(t)=\int \alpha(t)\,dt=\int \bigl(120\,t^{2}-48\,t+16\bigr)\,dt.
Calcule cada integral:
\int 120\,t^{2}\,dt=120\cdot\frac{t^{3}}{3}=40\,t^{3},
\int -48\,t\,dt=-48\cdot\frac{t^{2}}{2}=-24\,t^{2},
\int 16\,dt=16\,t.
Somando e adicionando a constante de integração C_{1}:
\omega(t)=40\,t^{3}-24\,t^{2}+16\,t+C_{1}.
Usamos a condição inicial \omega(0)=0. Substituindo t=0:
\omega(0)=C_{1}=0.
Logo a velocidade angular é
\boxed{\omega(t)=40\,t^{3}-24\,t^{2}+16\,t.}

Passo 4

Integração para obter \theta(t).
Sabemos que \omega(t)=\dfrac{d\theta}{dt}. Portanto
\theta(t)=\int \omega(t)\,dt=\int \bigl(40\,t^{3}-24\,t^{2}+16\,t\bigr)\,dt.
Integramos termo a termo:
\int 40\,t^{3}\,dt=40\cdot\frac{t^{4}}{4}=10\,t^{4},
\int -24\,t^{2}\,dt=-24\cdot\frac{t^{3}}{3}=-8\,t^{3},
\int 16\,t\,dt=16\cdot\frac{t^{2}}{2}=8\,t^{2}.
Somando e adicionando a constante de integração C_{2}:
\theta(t)=10\,t^{4}-8\,t^{3}+8\,t^{2}+C_{2}.
Usamos a condição inicial \theta(0)=0. Substituindo t=0 C_{2}=0. Assim:
\boxed{\theta(t)=10\,t^{4}-8\,t^{3}+8\,t^{2}.}

Passo 5

Cálculo da componente tangencial da aceleração a_{\text{t}}(t).
Usamos a relação
a_{\text{t}}(t)=r\,\alpha(t).
Substituindo r=1{,}3 e \alpha(t)=120\,t^{2}-48\,t+16:
a_{\text{t}}(t)=1{,}3\bigl(120\,t^{2}-48\,t+16\bigr).
Multiplicando coeficientes (passo a passo):
1{,}3\cdot 120 =156,\quad 1{,}3\cdot 48 =62{,}4,\quad 1{,}3\cdot 16 =20{,}8.
Portanto
\boxed{a_{\text{t}}(t)=156\,t^{2}-62{,}4\,t+20{,}8\\ \text{(m/s}^{2}\text{)}.}

Passo 6

Cálculo da componente centrípeta (radial) da aceleração a_{\text{c}}(t).
Usamos
a_{\text{c}}(t)=r\,\omega(t)^{2},
com r=1{,}3 e \omega(t)=40\,t^{3}-24\,t^{2}+16\,t. É aceitável manter a expressão fatorada, que é mais limpa:
\boxed{a_{\text{c}}(t)=1{,}3\bigl(40\,t^{3}-24\,t^{2}+16\,t\bigr)^{2}.}
Se preferir a forma polinomial expandida (cálculo detalhado dos termos): primeiro calculamos \omega(t)^{2}.
\omega(t)^{2}=(40\,t^{3}-24\,t^{2}+16\,t)^{2}
=1600\,t^{6}-1920\,t^{5}+1856\,t^{4}-768\,t^{3}+256\,t^{2}.
Multiplicando por r=1{,}3 termo a termo:
a_{\text{c}}(t)=2080\,t^{6}-2496\,t^{5}+2412{,}8\,t^{4}-998{,}4\,t^{3}+332{,}8\,t^{2}\\ \text{(m/s}^{2}\text{)}.

Resposta

\theta(t)=10\,t^{4}-8\,t^{3}+8\,t^{2}.\n
\omega(t)=40\,t^{3}-24\,t^{2}+16\,t.\n
a_{\text{t}}(t)=156\,t^{2}-62{,}4\,t+20{,}8\\ \text{m/s}^{2}.\n
a_{\text{c}}(t)=1{,}3\bigl(40\,t^{3}-24\,t^{2}+16\,t\bigr)^{2}=2080\,t^{6}-2496\,t^{5}+2412{,}8\,t^{4}-998{,}4\,t^{3}+332{,}8\,t^{2}\\ \text{m/s}^{2}.

Exercícios relacionados