Um corpo, inicialmente em repouso (
e
, para
), é acelerado numa trajetória circular de raio
, segundo a equação
. Determine a posição angular e a velocidade angular do corpo como funções do tempo, e as componentes tangencial e centrípeta de sua aceleração.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede certas grandezas:
- Raio da trajetória:
. - Aceleração angular (em função do tempo):
. - Condições iniciais em
: e . - Perguntas: determinar (a) a posição angular
como função do tempo; (b) a velocidade angular como função do tempo; (c) as componentes tangencial e centrípeta da aceleração do corpo como funções do tempo.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma simples):
- A aceleração angular
é a taxa de variação da velocidade angular. Matematicamente:
Isto significa que, para obter
, devemos integrar
em relação a
, e depois aplicar a condição inicial para determinar a constante de integração.
- A velocidade angular
é a taxa de variação da posição angular:
Portanto, para obter
, integramos
e aplicamos a condição inicial
.
- Relações entre acelerações lineares e grandezas angulares (para movimento circular de raio
): - Componente tangencial da aceleração (relacionada à variação da módulo da velocidade linear):
- Componente centrípeta (radial) da aceleração (responsável por manter o movimento circular, depende do quadrado da velocidade angular):
Aqui
é o tempo (em segundos),
é aceleração angular (em
),
é velocidade angular (em
),
é posição angular (em radianos),
é o raio (em metros),
e
são acelerações em
.
Passo 3
Integração para obter
.
Começamos de
Integramos termo a termo:
Calcule cada integral:
Somando e adicionando a constante de integração
:
Usamos a condição inicial
. Substituindo
:
Logo a velocidade angular é
Passo 4
Integração para obter
.
Sabemos que
. Portanto
Integramos termo a termo:
Somando e adicionando a constante de integração
:
Usamos a condição inicial
. Substituindo
dá
. Assim:
Passo 5
Cálculo da componente tangencial da aceleração
.
Usamos a relação
Substituindo
e
:
Multiplicando coeficientes (passo a passo):
Portanto
Passo 6
Cálculo da componente centrípeta (radial) da aceleração
.
Usamos
com
e
. É aceitável manter a expressão fatorada, que é mais limpa:
Se preferir a forma polinomial expandida (cálculo detalhado dos termos): primeiro calculamos
.
Multiplicando por
termo a termo: