O íon do hidrogênio molecular
apresenta um espaçamento de equilíbrio entre os prótons de
. Suponha que o elétron se encontre no ponto médio entre os prótons, movendo-se a
em uma direção perpendicular à linha que passa pelos prótons. Ao longo de que distância (em nm) o elétron se move antes de atingir o ponto de retomo? Devido às suas massas relativamente grandes, os prótons permanecem fixos durante este intervalo de tempo.
Passo 1
O enunciado pede: “Ao longo de que distância (em nm) o elétron se move antes de atingir o ponto de retomo?” (ou seja, qual é o deslocamento do elétron medido a partir do ponto médio entre os prótons até o ponto onde sua velocidade na direção transversal fica zero).\n
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
Os prótons permanecem fixos (portanto a configuração espacial dos prótons é constante durante o movimento do elétron). O elétron parte do ponto médio entre os prótons, movendo-se perpendicularmente à linha que une os prótons. Não foram fornecidos outros valores numéricos, então usaremos constantes físicas padrão (carga e massa do elétron, constante eletrostática).
Passo 2
Qual método usar e por quê? Vou usar conservação de energia mecânica (energia cinética + energia potencial eletrostática) porque não precisamos integrar forcas no tempo: o ponto de retorno ocorre quando a energia cinética do elétron na direção do movimento se torna zero e toda a variação foi absorvida pela energia potencial elétrica. Conservação de energia é direta e simples aqui. A equação geral que usaremos é
onde
é energia cinética e
é energia potencial elétrica. No ponto de retomo
.
Passo 3
Expressões das energias e das distâncias:
- Energia cinética inicial do elétron:
onde
é a massa do elétron e
sua velocidade inicial.
- Energia potencial elétrica do elétron devido devida a dois prótons (cada próton com carga
): a contribuição de cada próton, a uma distância do elétron, é , com . Como há dois prótons iguais, a energia potencial total é
- No ponto inicial (ponto médio), a distância entre elétron e cada próton é
. Se o elétron se afasta ao longo da mediatriz por uma distância , a nova distância até cada próton será
Passo 4
Escrevendo a conservação de energia entre o ponto inicial (subscrito
) e o ponto de retomo (subscrito
):
Substituindo as expressões:
Observe que
tem
, logo
. Reorganizando para isolar
:
Dividindo ambos os lados por
:
Para ficar mais claro, escrevo a forma usada para cálculo numérico:
onde
.
Passo 5
Valores numéricos das constantes (valores padrão):
Passo 6
Calcule
(energia cinética inicial):
Calcule passo a passo:
Passo 7
Calcule
, que aparece várias vezes:
Primeiro
.
Então
Então
Passo 8
Agora calcule
usando
Calcule os termos:
Subtraindo:
Logo
Passo 9
Calcule o deslocamento
a partir da relação geométrica
Plugando números:
Convertendo para nanômetros:
Resposta
0{,}030\ \mathrm{nm}