O íon do hidrogênio molecular \mathrm{H}^{+}{ }_{2} apresenta um espaçamento de equilíbrio entre os prótons de 0,11 \mathrm{~nm}. Suponha que o elétron se encontre no ponto médio entre os prótons, movendo-se a 1,5 \times 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s} em uma direção perpendicular à linha que passa pelos prótons. Ao longo de que distância (em nm) o elétron se move antes de atingir o ponto de retomo? Devido às suas massas relativamente grandes, os prótons permanecem fixos durante este intervalo de tempo.
\begin{aligned} & \vec{F}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q_{1} Q_{2}}{r^{2}} \hat{r} \quad \vec{F}=Q \vec{E} \quad \varphi \vec{E} \cdot d \vec{A}=\frac{Q}{\varepsilon_{0}} \quad E_{C}=\frac{\eta}{\varepsilon_{0}} \quad U=q V \quad V= \\ & \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{r} \quad \Delta V=-\int_{S_{i}}^{S_{f}} \vec{E} \cdot d \vec{S} \quad \vec{E}=-\nabla V \quad C=\frac{Q}{\Delta V_{C}} \quad C=\frac{\varepsilon_{0} A}{d} \\ & u_{C}=\frac{1}{2} C\left(\Delta V_{C}\right)^{2} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede: “Ao longo de que distância (em nm) o elétron se move antes de atingir o ponto de retomo?” (ou seja, qual é o deslocamento do elétron medido a partir do ponto médio entre os prótons até o ponto onde sua velocidade na direção transversal fica zero).\n
Dados fornecidos:
d=0{,}11\\ \mathrm{nm}=1{,}1\times10^{-10}\\ \mathrm{m}
v_0=1{,}5\times10^{6}\\ \mathrm{m/s}
Os prótons permanecem fixos (portanto a configuração espacial dos prótons é constante durante o movimento do elétron). O elétron parte do ponto médio entre os prótons, movendo-se perpendicularmente à linha que une os prótons. Não foram fornecidos outros valores numéricos, então usaremos constantes físicas padrão (carga e massa do elétron, constante eletrostática).

Passo 2

Qual método usar e por quê? Vou usar conservação de energia mecânica (energia cinética + energia potencial eletrostática) porque não precisamos integrar forcas no tempo: o ponto de retorno ocorre quando a energia cinética do elétron na direção do movimento se torna zero e toda a variação foi absorvida pela energia potencial elétrica. Conservação de energia é direta e simples aqui. A equação geral que usaremos é
K_i+U_i=K_f+U_f,
onde K é energia cinética e U é energia potencial elétrica. No ponto de retomo K_f=0.

Passo 3

Expressões das energias e das distâncias:
  • Energia cinética inicial do elétron:
K_i=\tfrac{1}{2} m_e v_0^2,
onde m_e é a massa do elétron e v_0 sua velocidade inicial.
  • Energia potencial elétrica do elétron devido devida a dois prótons (cada próton com carga +e): a contribuição de cada próton, a uma distância r do elétron, é U_{\text{um próton}}=-\dfrac{k e^2}{r}ó, com k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}. Como há dois prótons iguais, a energia potencial total é
U=-\frac{2 k e^2}{r}.
  • No ponto inicial (ponto médio), a distância entre elétron e cada próton é \dfrac{d}{2}. Se o elétron se afasta ao longo da mediatriz por uma distância x, a nova distância até cada próton será
r=\sqrt{\left(\dfrac{d}{2}\right)^2+x^2}.

Passo 4

Escrevendo a conservação de energia entre o ponto inicial (subscrito i) e o ponto de retomo (subscrito f):
K_i+U_i=0+U_f.
Substituindo as expressões:
\tfrac{1}{2}m_e v_0^2 - \frac{2 k e^2}{d/2} = -\frac{2 k e^2}{r}.
Observe que U_i tem r_i=d/2, logo U_i=-\dfrac{2 k e^2}{d/2}=-\dfrac{4 k e^2}{d}. Reorganizando para isolar 1/r:
\frac{2 k e^2}{r}=\frac{4 k e^2}{d}-\tfrac{1}{2}m_e v_0^2.
Dividindo ambos os lados por 2 k e^2:
\frac{1}{r}=\frac{2}{d}-\frac{\tfrac{1}{2}m_e v_0^2}{2 k e^2} =\frac{2}{d}-\frac{m_e v_0^2}{4 k e^2}.
Para ficar mais claro, escrevo a forma usada para cálculo numérico:
\frac{1}{r}=\frac{2}{d}-\frac{K_i}{2 k e^2},
onde K_i=\tfrac{1}{2}m_ev_0^2.

Passo 5

Valores numéricos das constantes (valores padrão):
m_e=9{,}10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg},
e=1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C},
k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}=8{,}98755179\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}.

Passo 6

Calcule K_i (energia cinética inicial):
K_i=\tfrac{1}{2}m_e v_0^2 =\tfrac{1}{2}\times9{,}10938356\times10^{-31}\times(1{,}5\times10^{6})^2.
Calcule passo a passo:
(1{,}5\times10^{6})^2=2{,}25\times10^{12},
m_e v_0^2=9{,}10938356\times10^{-31}\times2{,}25\times10^{12}=2{,}049611200\times10^{-18}\\ \mathrm{J},
K_i=\tfrac{1}{2}\times2{,}049611200\times10^{-18}=1{,}024805600\times10^{-18}\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Calcule k e^2, que aparece várias vezes:
k e^2=8{,}98755179\times10^{9}\times(1{,}602176634\times10^{-19})^2.
Primeiro e^2=(1{,}602176634)^2\times10^{-38}=2{,}5669699\times10^{-38}.
Então
k e^2=8{,}98755179\times10^{9}\times2{,}5669699\times10^{-38}=2{,}3070775\times10^{-28}\\ \mathrm{J\cdot m}.

Passo 8

Agora calcule 1/r usando
\frac{1}{r}=\frac{2}{d}-\frac{K_i}{2 k e^2}.
Calcule os termos:
\frac{2}{d}=\frac{2}{1{,}1\times10^{-10}}=1{,}8181818\times10^{10}\\ \mathrm{m^{-1}}.
\frac{K_i}{2 k e^2}=\frac{1{,}0248056\times10^{-18}}{2\times2{,}3070775\times10^{-28}} =\frac{1{,}0248056\times10^{-18}}{4{,}6141550\times10^{-28}} \approx2{,}221037\times10^{9}\\ \mathrm{m^{-1}}.
Subtraindo:
\frac{1}{r}=1{,}8181818\times10^{10}-2{,}221037\times10^{9}=1{,}5960781\times10^{10}\\ \mathrm{m^{-1}}.
Logo
r=\frac{1}{1{,}5960781\times10^{10}}=6{,}263\times10^{-11}\\ \mathrm{m}.

Passo 9

Calcule o deslocamento x a partir da relação geométrica
r=\sqrt{\left(\frac{d}{2}\right)^2+x^2}\quad\Rightarrow\quad x=\sqrt{r^2-\left(\frac{d}{2}\right)^2}.
Plugando números:
\frac{d}{2}=5{,}5\times10^{-11}\\ \mathrm{m},
r^2=(6{,}263\times10^{-11})^2=3{,}9222\times10^{-21}\\ \mathrm{m^2},
\left(\frac{d}{2}\right)^2=(5{,}5\times10^{-11})^2=3{,}025\times10^{-21}\\ \mathrm{m^2},
x=\sqrt{3{,}9222\times10^{-21}-3{,}025\times10^{-21}}=\sqrt{8{,}972\times10^{-22}}=2{,}997\times10^{-11}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para nanômetros:
x=2{,}997\times10^{-11}\\ \mathrm{m}=0{,}02997\\ \mathrm{nm}\approx0{,}030\\ \mathrm{nm}.

Resposta

0{,}030\ \mathrm{nm}

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