Um corpo é lançado horizontalmente do topo de uma torre e atinge o solo após três segundos, formando um ângulo de 45^{\circ} \mathrm{com} a horizontal. Determine:
(a) A altura da torre
(b) A velocidade com que o corpo foi projetado

Passo 1

O enunciado trata de um lançamento horizontal de um corpo do topo de uma torre, que atinge o solo em t=3 s, formando um ângulo de 45^\circ em relação à horizontal no instante do impacto. O conteúdo é cinemática bidimensional, com movimento uniforme na direção horizontal e movimento uniformemente acelerado na direção vertical. Vamos usar:
  1. Para a altura, a equação do deslocamento vertical com velocidade inicial nula.
  2. Para a velocidade de lançamento, a relação entre as componentes da velocidade no impacto e o ângulo.

Passo 2

Na direção vertical, a velocidade inicial é zero e a aceleração é g=9,8,m/s ^2. O deslocamento vertical é a altura h da torre:
h = \frac12\,g\,t^2.
Substituindo g=9,8,m/s ^2 e t=3,s,
h = \frac12 \times 9,8 \times 3^2 = \frac12 \times 9,8 \times 9 = 44,1\text{ m}.

Passo 3

No instante do impacto, as componentes da velocidade são
v_x = v_0 \quad(\text{constante}) \quad\text{e}\quad v_y = -\,g\,t = -\,9,8 \times 3 = -\,29,4\text{ m/s}.
O ângulo \theta que o vetor velocidade faz com a horizontal satisfaz
\tan\theta = \frac{|v_y|}{v_x}.
Como \theta = 45^\circ e \tan45^\circ =1, resulta
\frac{29,4}{v_x} = 1 \;\;\Longrightarrow\;\; v_x = 29,4\text{ m/s}.
Como v_x=v_0, concluímos que v_0=29,4,m/s.

Resposta

(a) 44,1 m
(b) 29,4 m/s

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