Um projétil é disparado horizontalmente com uma velocidade de 98 \mathrm{~m} / \mathrm{s} do topo de uma colina com 490 m de altura. Determine:
(a) O tempo que o projétil leva para atingir o solo.
(b) A distância do ponto onde o projétil atinge o solo em relação à base da colina.
(c) A velocidade com que o projétil atinge o solo \left(g=9.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right).

Passo 1

O enunciado diz que um projétil é lançado horizontalmente do topo de uma colina de altura 490\text{ m} com velocidade inicial de 98\text{ m/s}. A aceleração da gravidade vale g=9{,}8\text{ m/s}^2. Precisamos usar que, em lançamentos horizontais, o movimento no eixo x é uniforme e no eixo y é de queda livre. Com isso, acharemos:
– (a) o tempo de queda,
– (b) a distância horizontal até a base,
– (c) a velocidade no impacto.

Passo 2

Para achar o tempo de queda, consideramos a equação da posição vertical, tomando y=0 no nível do solo e y_0=490\text{ m} no lançamento:
y(t)=y_0+v_{0y}\,t-\frac12\,g\,t^2.
Como o lançamento é horizontal, v_{0y}=0. Logo, ao atingir o solo y(t)=0:
0=490-\frac12\cdot9{,}8\,t^2 \quad\Longrightarrow\quad t^2=\frac{2\cdot490}{9{,}8}=100 \quad\Longrightarrow\quad t=10\text{ s}.

Passo 3

No eixo horizontal o movimento é uniforme com v_{0x}=98\text{ m/s}. A posição é
x(t)=v_{0x}\,t,
então, para t=10\text{ s}:
x(10)=98\cdot10=980\text{ m}.

Passo 4

A velocidade no impacto tem componente horizontal constante v_x=98\text{ m/s} e componente vertical
v_y = v_{0y}-g\,t = 0 - 9{,}8\cdot10 = -98\text{ m/s}.
A magnitude da velocidade resultante é
v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{98^2 + (-98)^2} =98\sqrt{2}\approx138{,}6\text{ m/s}.

Resposta

(a) 10\text{ s}
(b) 980\text{ m}
(c) 98\sqrt{2}\text{ m/s}\\ (\approx138{,}6\text{ m/s})

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