Determine o ângulo de lançamento ( \theta ) de um projétil para o qual o alcance horizontal (R) e a altura máxima ( H ) são iguais.

Passo 1

O enunciado pede o ângulo de lançamento \theta de um projétil lançado do solo, de modo que o alcance horizontal R e a altura máxima H sejam iguais. O conteúdo utilizado será o movimento de projétil sem resistência do ar, com aceleração da gravidade g.

Passo 2

Recordando as fórmulas do lançamento oblíquo com velocidade inicial v_0:
A altura máxima é
H = \frac{v_0^2 \sin^2\theta}{2g}.
O alcance horizontal é
R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}.

Passo 3

Impondo a condição R = H, temos
\frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g} \;=\; \frac{v_0^2 \sin^2\theta}{2g}.
Cancelando v_0^2/g de ambos os lados resulta
\sin(2\theta) = \frac{\sin^2\theta}{2}.

Passo 4

Usando a identidade \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta, a equação fica
2\sin\theta\cos\theta = \frac{\sin^2\theta}{2} \quad\Longrightarrow\quad 4\sin\theta\cos\theta = \sin^2\theta.
Fatorando \sin\theta\neq0 (ângulo não nulo), obtemos
4\cos\theta = \sin\theta \quad\Longrightarrow\quad \tan\theta = 4.

Resposta

\theta = \arctan(4)\approx 75,96^\circ.

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