Uma corpo de massa 1 kg é presa por uma mola e oscila em um movimento unidimensional de acordo com a equação
x(t)=sen(pi t-pi2)
em que x é medido em metro e t em segundo. Determine: A frequência natural de oscilação (omega0).
b) A constante k da mola.

Passo 1

Beleza, vamos por partes! Temos um corpo de 1 kg preso numa mola que está oscilando de acordo com a equação $ x(t) = \sin\left(\pi t - \frac{\pi}{2}\right) x(t) = sin(pi t - pi2) éêçã\omega_{0} omega0k$). Para isso, vamos usar os conceitos de movimento harmônico simples, que é o tipo de movimento que o sistema está realizando.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação do movimento harmônico simples, que geralmente é escrita assim:
x(t) = A cdot sin(omega t + phi)
Aqui, A é a amplitude da oscilação, omega é a frequência angular, e phi é a fase inicial. Comparando com a nossa equação:
x(t) = sin(pi t - pi2)
Vemos que omega = pi rad/s. Essa frequência angular omega é justamente a nossa frequência natural omega0. Então já temos:
omega0 = pi rad/s

Passo 3

Agora, vamos encontrar a constante da mola k. Sabemos que a relação entre a frequência natural, a massa ( m) e a constante da mola é dada por:
omega0 = raizkm
Queremos isolar k:
k = m cdot omega0^2
Substituindo os valores que temos ( m = 1,kg e omega0 = pi rad/s):
k = 1 cdot pi^2 = pi^2 N/m

Resposta

a) A frequência natural de oscilação omega0 é pi rad/s.
b) A constante da mola k é pi^2 N/m.

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