Um corpo de massa 1 kg realiza um movimento unidimensional com amortecimento e está sujeito a uma força elástica (
). A equação diferencial do movimento é dada por
A sua solução é, nessas condições, dada pela solução geral
As grandezas são medidas no Sistema Internacional. Determine:
a) O coeficiente de amortecimento
b) A frequência natural de oscilação.
c) A posição inicial.
d) A velocidade inicial.
e) O amortecimento é supercrítico, crítico e subcrítico? Por quê?
a) O coeficiente de amortecimento
b) A frequência natural de oscilação.
c) A posição inicial.
d) A velocidade inicial.
e) O amortecimento é supercrítico, crítico e subcrítico? Por quê?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Massa:
. - Constante elástica:
(tirado do enunciado). - A equação diferencial fornecida (corrigindo o que parece um lapso de digitação) deve ser tomada como
- A solução geral fornecida é
- Massa:
-
O enunciado pede:
a) O coeficiente de amortecimento.
b) A frequência natural de oscilação.
c) A posição inicial.
d) A velocidade inicial.
e) Classificar o amortecimento: supercrítico (sobreamortecido), crítico ou subcrítico (subamortecido) e por quê.
Passo 2
Conceitos úteis e forma geral das soluções (mini-aula leve):
- Para um oscilador linear com amortecimento, a equação padrão é
onde:
-
é o coeficiente de amortecimento (unidade: ); -
é a frequência angular natural não amortecida (unidade: ). - No caso subcrítico (amortecimento fraco) a solução tem a forma
onde
é a frequência angular amortecida (observável nas funções trigonométricas) e está relacionada por
- Significados intuitivos:
-
mede a taxa exponencial de decaimento da amplitude (quanto maior , mais rápido some). -
é a frequência do sistema se não houvesse amortecimento. - Classificação:
- subcrítico (subamortecido):
(oscilações amortecidas); - crítico:
(retorno sem oscilar, mais rápido sem oscilar); - supercrítico (sobreamortecido):
(retorno sem oscilar, lento).
- subcrítico (subamortecido):
-
Passo 3
Identificar
e
a partir da solução dada:
- A solução dada é
. - Comparando com
, lê-se diretamente: -
. -
.
-
Passo 4
Determinar a frequência natural
usando a relação entre
,
e
.
- Fórmula que liga as quantidades:
- Substituindo os valores identificados:
- Cálculo numérico:
Observação importante (clareza didática): o enunciado também deu
e
. Pela relação clássica
obter-se-ia
, que é diferente do valor extraído da solução fornecida. Isso indica que os dados
e a solução dada não são simultaneamente consistentes; aqui estou usando a solução fornecida como fonte para
e
e a partir dela calculei
. Se preferir usar apenas
e
para
, o valor seria
— mas esse valor não combina com a forma trigonométrica presente na solução dada.
Passo 5
Calcular a posição inicial
.
- Substitui
na solução:
- Portanto
.
Passo 6
Calcular a velocidade inicial
passo a passo (regra do produto).
- Escrevendo
com -
, -
.
-
- Derivadas:
-
. - Para
: derivando termo a termo,
-
- Usando regra do produto:
- Avaliando em
: -
. -
. -
. -
.
-
- Logo
- Portanto
.
Passo 7
Classificação do amortecimento (subcrítico/ crítico/ supercrítico) e razão.
- Compare
e : -
. -
.
-
- Como
, o sistema é subcrítico (ou seja, subamortecido / underdamped): há oscilações amortecidas com frequência . - Dica numérica do fator de amortecimento (razão adimensional):
ou seja,
confirma regime subamortecido.
Resposta
a)
b)
c)
d)
e) Subcrítico (subamortecido), porque (ou seja,
).
b)
c)
d)
e) Subcrítico (subamortecido), porque