Um corpo de massa 1 kg realiza um movimento unidimensional com amortecimento e está sujeito a uma força elástica ( \mathrm{k}=0,05 \mathrm{~N} / \mathrm{m} ). A equação diferencial do movimento é dada por
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+2 \gamma \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\omega_{0}^{2} x=0
A sua solução é, nessas condições, dada pela solução geral
x(t)=e^{-0,1 t}[10 \cos (0,5 t)+2 \operatorname{sen}(0,5 t)]
As grandezas são medidas no Sistema Internacional. Determine:
a) O coeficiente de amortecimento
b) A frequência natural de oscilação.
c) A posição inicial.
d) A velocidade inicial.
e) O amortecimento é supercrítico, crítico e subcrítico? Por quê?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Massa: m=1\\ \mathrm{kg}.
    • Constante elástica: k=0,05\\ \mathrm{N/m} (tirado do enunciado).
    • A equação diferencial fornecida (corrigindo o que parece um lapso de digitação) deve ser tomada como
    \frac{d^{2}x}{dt^{2}} + 2\gamma \frac{dx}{dt} + \omega_{0}^{2} x = 0.
    • A solução geral fornecida é
    x(t)=e^{-0,1 t}\bigl[10\cos(0,5 t)+2\sin(0,5 t)\bigr].
  • O enunciado pede:
    a) O coeficiente de amortecimento.
    b) A frequência natural de oscilação.
    c) A posição inicial x(0).
    d) A velocidade inicial x'(0).
    e) Classificar o amortecimento: supercrítico (sobreamortecido), crítico ou subcrítico (subamortecido) e por quê.

Passo 2

Conceitos úteis e forma geral das soluções (mini-aula leve):
  • Para um oscilador linear com amortecimento, a equação padrão é
\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + 2\gamma \frac{dx}{dt} + \omega_{0}^{2} x = 0,
onde:
  • \gamma é o coeficiente de amortecimento (unidade: \mathrm{s^{-1}});
  • \omega_{0} é a frequência angular natural não amortecida (unidade: \mathrm{rad/s}).
  • No caso subcrítico (amortecimento fraco) a solução tem a forma
x(t)=e^{-\gamma t}\bigl(A\cos(\omega_{d} t)+B\sin(\omega_{d} t)\bigr),
onde \omega_{d} é a frequência angular amortecida (observável nas funções trigonométricas) e está relacionada por
\omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}}.
  • Significados intuitivos:
    • \gamma mede a taxa exponencial de decaimento da amplitude (quanto maior \gamma, mais rápido some).
    • \omega_{0} é a frequência do sistema se não houvesse amortecimento.
    • Classificação:
      • subcrítico (subamortecido): \gamma<\omega_{0} (oscilações amortecidas);
      • crítico: \gamma=\omega_{0} (retorno sem oscilar, mais rápido sem oscilar);
      • supercrítico (sobreamortecido): \gamma>\omega_{0} (retorno sem oscilar, lento).

Passo 3

Identificar \gamma e \omega_{d} a partir da solução dada:
  • A solução dada é x(t)=e^{-0,1 t}[10\cos(0,5 t)+2\sin(0,5 t)].
  • Comparando com x(t)=e^{-\gamma t}[\cdots \cos(\omega_{d}t)+\cdots \sin(\omega_{d}t)], lê-se diretamente:
    • \gamma=0,1\\ \mathrm{s^{-1}}.
    • \omega_{d}=0,5\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Determinar a frequência natural \omega_{0} usando a relação entre \omega_{d}, \omega_{0} e \gamma.
  • Fórmula que liga as quantidades:
\omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \omega_{0}=\sqrt{\omega_{d}^{2}+\gamma^{2}}.
  • Substituindo os valores identificados:
\omega_{0}=\sqrt{(0,5)^{2}+(0,1)^{2}}=\sqrt{0,25+0,01}=\sqrt{0,26}.
  • Cálculo numérico:
\omega_{0}\approx 0,5099\\ \mathrm{rad/s}.
Observação importante (clareza didática): o enunciado também deu k=0,05\\ \mathrm{N/m} e m=1\\ \mathrm{kg}. Pela relação clássica \omega_{0}=\sqrt{k/m} obter-se-ia \omega_{0}=\sqrt{0,05}\approx0,2236\\ \mathrm{rad/s}, que é diferente do valor extraído da solução fornecida. Isso indica que os dados k e a solução dada não são simultaneamente consistentes; aqui estou usando a solução fornecida como fonte para \gamma e \omega_{d} e a partir dela calculei \omega_{0}. Se preferir usar apenas k e m para \omega_{0}, o valor seria 0,2236\\ \mathrm{rad/s} — mas esse valor não combina com a forma trigonométrica presente na solução dada.

Passo 5

Calcular a posição inicial x(0).
  • Substitui t=0 na solução:
x(0)=e^{0}\bigl[10\cos(0)+2\sin(0)\bigr]=1\cdot(10\cdot 1 + 2\cdot 0)=10.
  • Portanto x(0)=10\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Calcular a velocidade inicial x'(0) passo a passo (regra do produto).
  • Escrevendo x(t)=u(t)\,v(t) com
    • u(t)=e^{-0,1 t},
    • v(t)=10\cos(0,5 t)+2\sin(0,5 t).
  • Derivadas:
    • u'(t)=-0,1\,e^{-0,1 t}.
    • Para v'(t): derivando termo a termo,
    v'(t)=-10\cdot 0,5\sin(0,5 t)+2\cdot 0,5\cos(0,5 t) = -5\sin(0,5 t)+1\cos(0,5 t).
  • Usando regra do produto:
x'(t)=u'(t)v(t)+u(t)v'(t).
  • Avaliando em t=0:
    • u'(0)=-0,1.
    • v(0)=10\cos 0 + 2\sin 0 =10.
    • u(0)=1.
    • v'(0)=-5\sin 0 + 1\cos 0 =0+1=1.
  • Logo
x'(0)=(-0,1)\cdot 10 + 1\cdot 1 = -1 + 1 = 0.
  • Portanto x'(0)=0\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Classificação do amortecimento (subcrítico/ crítico/ supercrítico) e razão.
  • Compare \gamma e \omega_{0}:
    • \gamma=0,1\\ \mathrm{s^{-1}}.
    • \omega_{0}\approx 0,5099\\ \mathrm{rad/s}.
  • Como \gamma<\omega_{0}, o sistema é subcrítico (ou seja, subamortecido / underdamped): há oscilações amortecidas com frequência \omega_{d}.
  • Dica numérica do fator de amortecimento (razão adimensional):
\zeta=\frac{\gamma}{\omega_{0}}\approx\frac{0,1}{0,5099}\approx 0,196,
ou seja, \zeta<1 confirma regime subamortecido.

Resposta

a) \gamma=0,1\\ \mathrm{s^{-1}}
b) \omega_{0}\approx 0,5099\\ \mathrm{rad/s}
c) x(0)=10\\ \mathrm{m}
d) x'(0)=0\\ \mathrm{m/s}
e) Subcrítico (subamortecido), porque \gamma<\omega_{0} (ou seja, 0,1<0,5099).

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