Uma corpo A ( mA=0,5 kg ) está na origem de um sistema de coordenadas xy e um corpo B ( mB=1,5 kg ) está no ponto (1,0 ; 2,0) m. Em t=0 s uma força FA=(2 i+4 j) N começa a agir sobre o corpo A e uma força FB=(-3 i-2 j) N começa a agir sobre o corpo B . Em termos dos vetores unitários ( i e j ), qual é o deslocamento do centro de massa do sistema A-B em t=4 s em relação à sua posição em t=0 s?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois corpos, A e B, com massas de 0,5 kg e 1,5 kg respectivamente. Eles estão posicionados em pontos específicos no plano xy. No instante inicial ( t=0 s), começam a agir forças sobre cada corpo: FA=(2 i+4 j) N sobre o corpo A e FB=(-3 i-2 j) N sobre o corpo B. Queremos descobrir qual será o deslocamento do centro de massa desse sistema após 4 s, em relação à posição inicial. Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica como o centro de massa, a segunda lei de Newton e equações de movimento com aceleração constante.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o centro de massa inicial do sistema. O centro de massa ( R) é dado pela média ponderada das posições dos corpos, usando suas massas:
R0 = mA rA + mB rBmA + mB
Como o corpo A está na origem, rA = (0,0). O corpo B está no ponto (1,0 ; 2,0) m, então rB = (1, 2) m.

Passo 3

Vamos calcular R0:
R0 = 0,5 kg cdot (0,0) + 1,5 kg cdot (1, 2)0,5 + 1,5 = (0,0) + (1,5, 3)2 = (1,52, 32) = (0,75, 1,5) m
Então, o centro de massa inicial está em (0,75 i + 1,5 j) m.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a força resultante no sistema. Como as forças estão atuando separadamente em A e B, a força total é a soma vetorial dessas forças:
Ftotal = FA + FB = (2 i + 4 j) + (-3 i -2 j) = (-1 i + 2 j) N

Passo 5

Com a força total, podemos encontrar a aceleração do centro de massa usando a segunda lei de Newton para o sistema:
Ftotal = (mA + mB) a
Onde a é a aceleração do centro de massa. Vamos isolar a:
a = FtotalmA + mB = (-1 i + 2 j)2 = (-0,5 i + 1 j) m/s^2

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o deslocamento do centro de massa após 4 s. Como partimos do repouso (não há velocidade inicial mencionada), o deslocamento ( d) com aceleração constante é dado por:
d = 12 a t^2
Substituindo os valores:
d = 12 (-0,5 i + 1 j) (4)^2 = 12 (-0,5 i + 1 j) cdot 16 = (-4 i + 8 j) m

Resposta

O deslocamento do centro de massa do sistema após 4 s é (-4 i + 8 j) m.

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