Um trem de peso P, partindo do repouso, percorre 300 m ao descer uma rampa de 1 % de inclinação. Com a velocidade assim adquirida, ele sobe uma encosta de 2 % de inclinação e percorre 60 m até parar.
Dica: Supondo que theta e phi são ângulos de inclinação dos dois planos em relação ao plano horizontal, tg theta=0,01 e tg phi=0,02. Para ângulos menores do que 5^circ, sen alpha=tg alpha.
Calcule a velocidade do trem no final da rampa de inclinação theta considerando g=10 N / kg.

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um trem que começa parado e desce uma rampa de 1% de inclinação por 300 metros. Depois, ele sobe uma encosta de 2% de inclinação por 60 metros até parar. Queremos descobrir qual é a velocidade do trem no final da rampa de 1% de inclinação. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia e trabalho na física, além de algumas fórmulas básicas de cinemática. Vamos precisar considerar a inclinação das rampas e a força da gravidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma inclinação de 1%. Isso quer dizer que para cada 100 metros na horizontal, a rampa sobe ou desce 1 metro. Como o ângulo de inclinação é pequeno, podemos usar a aproximação de que o seno e o cosseno do ângulo são iguais ao seu tangente. Ou seja, sin theta approx tan theta = 0,01 e sin phi approx tan phi = 0,02.

Passo 3

Vamos calcular a energia que o trem ganha ao descer a rampa de 1%. A energia potencial perdida será convertida em energia cinética. A fórmula da energia potencial é:
Ep = m cdot g cdot h
Aqui, m é a massa do trem, g é a aceleração da gravidade (10 m/s²) e h é a altura da rampa. Como a inclinação é de 1%, para 300 metros, a altura h é:
h = 300 times 0,01 = 3 metros
Então, a energia potencial perdida é:
Ep = m cdot 10 cdot 3 = 30m J

Passo 4

Essa energia potencial perdida foi convertida em energia cinética, que é dada por:
Ek = 12 m v^2
Igualando as duas energias:
30m = 12 m v^2
Podemos cancelar a massa m dos dois lados:
30 = 12 v^2
Multiplicando ambos os lados por 2:
60 = v^2

Passo 5

Agora, vamos encontrar a velocidade v tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
v = raiz60 approx 7,75 m/s

Resposta

A velocidade do trem no final da rampa de 1% de inclinação é aproximadamente 7,75 , m/s.

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