(*) Um corpo de massa m=1000 \mathrm{~kg} cai de uma altura H=1 \mathrm{~m} sobre uma plataforma de massa desprezível. Deseja-se projetar um sistema constituído por uma mola e um amortecedor sobre o qual se montará a plataforma de modo que ela fique em equilíbrio a uma distância d=2 \mathrm{~m} abaixo de sua posição inicial, após o impacto. O equilíbrio deve ser atingido tão rápido quanto possível, sem oscilações.
(a) Obtenha a constante k da mola e a constante de amortecimento b do amortecedor. R: k=5 \times 10^{3} \mathrm{~N} / \mathrm{m}, b=2 \sqrt{5} \times 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{s}
(b) Obtenha a função horária que descreve o movimento do bloco após entrar em contato com a plataforma.
\mathbf{R}: x(t)=2\left(e^{-\sqrt{5} t}-1\right) \mathrm{m}

Passo 1

O enunciado descreve um bloco de massa m=1000,kg que atinge uma plataforma e, após o impacto, é sustentado por uma mola de constante k em série com um amortecedor de coeficiente b. Queremos que, após o choque, o sistema atinja o deslocamento estático d=2,m abaixo da posição inicial, sem oscilações e no menor tempo possível. O conteúdo necessário é o equilíbrio estático de mola mg = k\,d e a condição de amortecimento crítico b_c = 2m\omega_0, com \omega_0 = \sqrt{k/m}.

Passo 2

Para que o bloco fique em equilíbrio estático a d=2,m, a força elástica deve igualar o peso:
mg = k\,d.
Adotando g=10,m/s ^2, temos
k = \frac{m\,g}{d} = \frac{1000 \times 10}{2} = 5000\\ \mathrm{N/m}.

Passo 3

Para não haver oscilações e chegar ao equilíbrio no menor tempo, escolhemos amortecimento crítico, dado por
b = 2\,m\,\omega_0, \quad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{5000}{1000}} = \sqrt{5}.
Logo
b = 2 \times 1000 \times \sqrt{5} = 2\sqrt{5}\times 10^{3}\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 4

Vamos obter a equação do movimento após o contato. Seja y(t) o deslocamento do bloco para baixo a partir da posição inicial de repouso da plataforma. A mola + amortecedor criam uma força resultante
m\ddot y + b\dot y + k y = -m g,
onde o lado direito -mg vem do peso. Definindo
x(t)=y(t)-d
como o deslocamento em relação à posição de equilíbrio x=0 em y=d, a equação homogênea fica
m\ddot x + b\dot x + k x = 0.
No caso crítico b=2m\omega_0, a solução geral é
x(t) = (C_1 + C_2\,t)\,e^{-\omega_0 t}.
As condições iniciais, no instante em que o bloco entra em contato t=0, são
y(0)=0\implies x(0)=-d=-2, \qquad \dot y(0)=v_0,\quad v_0=\sqrt{2gH}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\\ \mathrm{m/s},
logo \dot x(0)=\dot y(0)=2\sqrt{5}.

Passo 5

Aplicando as condições em x(t):
  1. x(0)=C_1=-2.
  2. \dot x(t)=[C_2 - \omega_0(C_1 + C_2 t)]e^{-\omega_0 t}, então em t=0:
\dot x(0)=C_2 - \omega_0 C_1 = 2\sqrt{5}.
Como \omega_0=\sqrt{5} e C_1=-2, vem
C_2 - \sqrt{5}\,(-2) = 2\sqrt{5} \quad\Rightarrow\quad C_2 = 2\sqrt{5} - 2\sqrt{5} = 0.
Portanto
x(t) = -2\,e^{-\sqrt{5}\,t}.
Voltando a y(t)=x(t)+d, obtemos
y(t) = -2\,e^{-\sqrt{5}\,t} + 2 = 2\bigl(1 - e^{-\sqrt{5}\,t}\bigr).
Se preferirmos medir o deslocamento para cima como positivo a partir da posição inicial, basta trocar o sinal:
x(t) = 2\bigl(e^{-\sqrt{5}\,t}-1\bigr)\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) k = 5\times10^{3}\\ \mathrm{N/m},\quad b = 2\sqrt{5}\times10^{3}\\ \mathrm{kg/s}.
(b) x(t) = 2\bigl(e^{-\sqrt{5}\,t}-1\bigr)\\ \mathrm{m}.

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