(*) Um corpo de massa
cai de uma altura
sobre uma plataforma de massa desprezível. Deseja-se projetar um sistema constituído por uma mola e um amortecedor sobre o qual se montará a plataforma de modo que ela fique em equilíbrio a uma distância
abaixo de sua posição inicial, após o impacto. O equilíbrio deve ser atingido tão rápido quanto possível, sem oscilações.
(a) Obtenha a constante
da mola e a constante de amortecimento
do amortecedor. R:
(b) Obtenha a função horária que descreve o movimento do bloco após entrar em contato com a plataforma.
(a) Obtenha a constante
(b) Obtenha a função horária que descreve o movimento do bloco após entrar em contato com a plataforma.
Passo 1
O enunciado descreve um bloco de massa
,kg que atinge uma plataforma e, após o impacto, é sustentado por uma mola de constante
em série com um amortecedor de coeficiente
. Queremos que, após o choque, o sistema atinja o deslocamento estático
,m abaixo da posição inicial, sem oscilações e no menor tempo possível. O conteúdo necessário é o equilíbrio estático de mola
e a condição de amortecimento crítico
, com
.
Passo 2
Para que o bloco fique em equilíbrio estático a
,m, a força elástica deve igualar o peso:
Adotando
,m/s
, temos
Passo 3
Para não haver oscilações e chegar ao equilíbrio no menor tempo, escolhemos amortecimento crítico, dado por
Logo
Passo 4
Vamos obter a equação do movimento após o contato. Seja
o deslocamento do bloco para baixo a partir da posição inicial de repouso da plataforma. A mola + amortecedor criam uma força resultante
onde o lado direito
vem do peso. Definindo
como o deslocamento em relação à posição de equilíbrio
em
, a equação homogênea fica
No caso crítico
, a solução geral é
As condições iniciais, no instante em que o bloco entra em contato
, são
logo
.
Passo 5
Aplicando as condições em
:
-
. -
, então em :
Como
e
, vem
Portanto
Voltando a
, obtemos
Se preferirmos medir o deslocamento para cima como positivo a partir da posição inicial, basta trocar o sinal:
Resposta
(a)
(b)
(b)