(*) Um corpo de massa
m desliza sobre um plano horizontal sem atrito sujeito a três forças: uma força elástica resultante da ação de uma mola de constante elástica
k , uma força devido à resistência viscosa do meio, caracterizada pela constante de resistência viscosa
b , e uma força externa periódica
F(t)=F_{0} \cos \left(\omega_{\text {ext }} t\right) , sendo
\omega_{\text {ext }} a frequência externa.
(a) Escreva a equação diferencial que descreve o movimento do corpo e encontre a sua solução estacionária.
R:
\ddot{x}+\gamma \dot{x}+\omega_{0}^{2} x=\frac{F_{0}}{m} \cos \left(\omega_{\text {ext }} t\right) ,
x(t)=A\left(\omega_{\text {ext }}\right) \cos \left[\omega_{\text {ext }} t+\varphi\left(\omega_{\text {ext }}\right)\right] \operatorname{com}
A\left(\omega_{\text {ext }}\right)=\frac{F_{0}}{m} \frac{1}{\sqrt{\left(\omega_{0}^{2}-\omega_{\text {ext }}^{2}\right)^{2}+\gamma^{2} \omega_{\text {ext }}^{2}}}, \quad \varphi=-\arctan \left(\frac{\gamma \omega_{\text {ext }}}{\omega_{0}^{2}-\omega_{\text {ext }}^{2}}\right)
(b) Considerando que
m=50 \mathrm{~kg}, k=5000 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, F_{0}=50 \mathrm{Ne} b=500 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} , calcule a frequência natural do sistema e o seu fator de qualidade
Q .
R:
\omega_{0}=10 \mathrm{~s}^{-1}, Q=1
(c) No regime estacionário, usando os valores do item anterior, determine o valor de
\omega_{\text {ext }} para o qual a amplitude
A do movimento é máxima.
\mathbf{R}: \omega_{\text {ext }}=5 \sqrt{2} \mathrm{~s}^{-1}
(d) No regime estacionário, usando os valores do item (b), determine o valor da amplitude máxima.