(*) Um corpo de massa m desliza sobre um plano horizontal sem atrito sujeito a três forças: uma força elástica resultante da ação de uma mola de constante elástica k, uma força devido à resistência viscosa do meio, caracterizada pela constante de resistência viscosa b, e uma força externa periódica F(t)=F_{0} \cos \left(\omega_{\text {ext }} t\right), sendo \omega_{\text {ext }} a frequência externa.
(a) Escreva a equação diferencial que descreve o movimento do corpo e encontre a sua solução estacionária.
R: \ddot{x}+\gamma \dot{x}+\omega_{0}^{2} x=\frac{F_{0}}{m} \cos \left(\omega_{\text {ext }} t\right),
x(t)=A\left(\omega_{\text {ext }}\right) \cos \left[\omega_{\text {ext }} t+\varphi\left(\omega_{\text {ext }}\right)\right] \operatorname{com}
A\left(\omega_{\text {ext }}\right)=\frac{F_{0}}{m} \frac{1}{\sqrt{\left(\omega_{0}^{2}-\omega_{\text {ext }}^{2}\right)^{2}+\gamma^{2} \omega_{\text {ext }}^{2}}}, \quad \varphi=-\arctan \left(\frac{\gamma \omega_{\text {ext }}}{\omega_{0}^{2}-\omega_{\text {ext }}^{2}}\right)
(b) Considerando que m=50 \mathrm{~kg}, k=5000 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, F_{0}=50 \mathrm{Ne} b=500 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}, calcule a frequência natural do sistema e o seu fator de qualidade Q.
R: \omega_{0}=10 \mathrm{~s}^{-1}, Q=1
(c) No regime estacionário, usando os valores do item anterior, determine o valor de \omega_{\text {ext }} para o qual a amplitude A do movimento é máxima.
\mathbf{R}: \omega_{\text {ext }}=5 \sqrt{2} \mathrm{~s}^{-1}
(d) No regime estacionário, usando os valores do item (b), determine o valor da amplitude máxima.

Passo 1

O enunciado trata de um oscilador harmônico com amortecimento viscoso e força externa periódica, de massa m, mola de constante k e coeficiente de resistência viscosa b. Queremos (a) escrever a equação diferencial e obter a solução estacionária, (b) calcular a frequência natural \omega_{0} e o fator de qualidade Q para m=50,kg, k=5000,N/m e b=500,kg/s, (c) achar a frequência externa \omega_{\text{ext}} que maximiza a amplitude e (d) determinar essa amplitude máxima.

Passo 2

Aplicando a segunda lei de Newton, temos
m\ddot x + b\dot x + kx = F_{0}\cos\bigl(\omega_{\text{ext}}t\bigr).
Dividindo por m e definindo \gamma = b/m e \omega_{0}^{2}=k/m, obtém-se
\ddot x + \gamma\,\dot x + \omega_{0}^{2}\,x = \frac{F_{0}}{m}\cos\bigl(\omega_{\text{ext}}t\bigr).
Procuramos solução estacionária do tipo
x(t)=A(\omega_{\text{ext}})\,\cos\bigl(\omega_{\text{ext}}t+\varphi(\omega_{\text{ext}})\bigr).
Substituindo na equação e igualando coefs.\ de \cos e \sin, chega-se a
A(\omega_{\text{ext}}) =\frac{\tfrac{F_{0}}{m}}{\sqrt{\bigl(\omega_{0}^{2}-\omega_{\text{ext}}^{2}\bigr)^{2}+\gamma^{2}\omega_{\text{ext}}^{2}}} \quad\text{e}\quad \varphi(\omega_{\text{ext}}) =-\arctan\!\Bigl(\frac{\gamma\,\omega_{\text{ext}}}{\omega_{0}^{2}-\omega_{\text{ext}}^{2}}\Bigr).

Passo 3

Com m=50,kg, k=5000,N/m e b=500,kg/s:
\omega_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{5000}{50}} = 10\;\text{s}^{-1}, \quad \gamma = \frac{b}{m} = \frac{500}{50} = 10\;\text{s}^{-1}.
O fator de qualidade é
Q = \frac{\omega_{0}}{\gamma} = \frac{10}{10} = 1.

Passo 4

Para maximizar A(\omega_{\text{ext}}) derivamos A^{2} em relação a \omega_{\text{ext}} e igualamos a zero, obtendo
\omega_{\text{ext}}^{2} = \omega_{0}^{2}-\frac{\gamma^{2}}{2} \quad\Longrightarrow\quad \omega_{\text{ext}} = \sqrt{\omega_{0}^{2}-\tfrac{\gamma^{2}}{2}} = \sqrt{100-50} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\;\text{s}^{-1}.

Passo 5

A amplitude máxima é A_{\max}=A(5\sqrt{2}). Usando a fórmula de A,
A_{\max} =\frac{\tfrac{F_{0}}{m}}{\sqrt{\bigl(\omega_{0}^{2}-\omega_{\text{ext}}^{2}\bigr)^{2}+\gamma^{2}\omega_{\text{ext}}^{2}}} =\frac{1}{\sqrt{(100-50)^{2} + 10^{2}\times50}} =\frac{1}{\sqrt{2500+5000}} =\frac{1}{\sqrt{7500}} =\frac{1}{50\sqrt{3}} \approx 0,0116\;\text{m}.

Resposta

(a) Equação diferencial:
\ddot x + \gamma\,\dot x + \omega_{0}^{2}x = \frac{F_{0}}{m}\cos(\omega_{\text{ext}}t),
solução estacionária
x(t)=A(\omega_{\text{ext}})\cos\bigl(\omega_{\text{ext}}t+\varphi(\omega_{\text{ext}})\bigr)
com
A(\omega_{\text{ext}}) =\frac{\tfrac{F_{0}}{m}}{\sqrt{\bigl(\omega_{0}^{2}-\omega_{\text{ext}}^{2}\bigr)^{2}+\gamma^{2}\omega_{\text{ext}}^{2}}}, \quad \varphi=-\arctan\!\Bigl(\frac{\gamma\omega_{\text{ext}}}{\omega_{0}^{2}-\omega_{\text{ext}}^{2}}\Bigr).
(b) \omega_{0}=10,s ^{-1}, Q=1.
(c) \omega_{\text{ext}}=5\sqrt{2},s ^{-1}.
(d) A_{\max}\approx0,0116,m.

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