(*) Um corpo de massa
desliza sobre um plano horizontal sem atrito sujeito a três forças: uma força elástica resultante da ação de uma mola de constante elástica
, uma força devido à resistência viscosa do meio, caracterizada pela constante de resistência viscosa
, e uma força externa periódica
, sendo
a frequência externa.
(a) Escreva a equação diferencial que descreve o movimento do corpo e encontre a sua solução estacionária.
R:
,
(b) Considerando que
, calcule a frequência natural do sistema e o seu fator de qualidade
.
R:
(c) No regime estacionário, usando os valores do item anterior, determine o valor de
para o qual a amplitude
do movimento é máxima.
(d) No regime estacionário, usando os valores do item (b), determine o valor da amplitude máxima.
(a) Escreva a equação diferencial que descreve o movimento do corpo e encontre a sua solução estacionária.
R:
(b) Considerando que
R:
(c) No regime estacionário, usando os valores do item anterior, determine o valor de
(d) No regime estacionário, usando os valores do item (b), determine o valor da amplitude máxima.
Passo 1
O enunciado trata de um oscilador harmônico com amortecimento viscoso e força externa periódica, de massa
, mola de constante
e coeficiente de resistência viscosa
. Queremos (a) escrever a equação diferencial e obter a solução estacionária, (b) calcular a frequência natural
e o fator de qualidade
para
,kg,
,N/m e
,kg/s, (c) achar a frequência externa
que maximiza a amplitude e (d) determinar essa amplitude máxima.
Passo 2
Aplicando a segunda lei de Newton, temos
Dividindo por
e definindo
e
, obtém-se
Procuramos solução estacionária do tipo
Substituindo na equação e igualando coefs.\ de
e
, chega-se a
Passo 3
Com
,kg,
,N/m e
,kg/s:
O fator de qualidade é
Passo 4
Para maximizar
derivamos
em relação a
e igualamos a zero, obtendo
Passo 5
A amplitude máxima é
. Usando a fórmula de
,
Resposta
(a) Equação diferencial:
solução estacionária
com
(b)
,s
,
.
(c) ,s
.
(d) ,m.
(c)
(d)