(*) Observa-se que as oscilações na ausência de força externa periódica de um sistema mecânico tem frequência angular \omega_{1}. O mesmo sistema, na presença de uma força externa F_{0} \cos (\omega t) (onde F_{0}= constante e \omega variável) tem uma curva de ressonância de potência cuja largura à meia altura é \Delta \omega=\omega_{1} / 5.
(a) Em que frequência ocorre o máximo de potência?
\mathbf{R}: \omega=1,005 \omega_{1}
(b) Determine o Q do sistema.
\mathbf{R}: Q \approx 5
(c) Se o sistema consistir de uma massa m acoplada a uma mola de constante elástica k, determine o valor do coeficiente de atrito viscoso b do termo resistivo -b v, em termos de m e k.

Passo 1

O enunciado trata de um oscilador harmônico amortecido forçado, com massa m, constante elástica k e atrito viscoso -b\,v. Em ausência de força externa a frequência angular natural do sistema é
\omega_{1}=\sqrt{\frac{k}{m}}\,.
Na presença de uma força periódica F_{0}\cos(\omega t) a curva de potência dissipada pelo amortecedor tem largura à meia‐altura \Delta\omega=\omega_{1}/5. Vamos usar as relações de fator de qualidade Q, largura de banda e as expressões da potência média dissipada para determinar (a) a frequência de pico, (b) Q e (c) o coeficiente b.

Passo 2

O fator de qualidade Q de um oscilador forçado amortecido satisfaz a relação padrão
\Delta \omega = \frac{\omega_{1}}{Q}\,.
Como dado \Delta\omega = \omega_{1}/5, temos
Q=\frac{\omega_{1}}{\Delta\omega}=\frac{\omega_{1}}{\omega_{1}/5}=5\,.

Passo 3

A potência média dissipada pelo amortecedor é
P(\omega)=\frac12\,b\,\omega^{2}\,A^{2}(\omega),
onde
A(\omega)=\frac{F_{0}/m}{\sqrt{(\omega_{1}^{2}-\omega^{2})^{2}+(b\omega/m)^{2}}}\,.
Maximizando P(\omega) em relação a \omega via derivada, obtém‐se a condição
\omega_{\max} =\sqrt{\omega_{1}^{2}+\bigl(\tfrac{b}{2m}\bigr)^{2}}\,.
Em termos de Q=m\omega_{1}/b, nota‐se que \tfrac{b}{2m}=\tfrac{\omega_{1}}{2Q}, logo
\omega_{\max} =\omega_{1}\,\sqrt{1+\frac{1}{4Q^{2}}} \approx\omega_{1}\Bigl(1+\frac{1}{8Q^{2}}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad \omega_{\max}\approx1{,}005\,\omega_{1}\quad(\text{para }Q=5).

Passo 4

Do próprio fator de qualidade definimos
Q=\frac{m\,\omega_{1}}{b} \quad\Longrightarrow\quad b=\frac{m\,\omega_{1}}{Q}\,.
Substituindo Q=5 e \omega_{1}=\sqrt{k/m}, obteremos
b=\frac{m}{5}\,\sqrt{\frac{k}{m}} =\frac{\sqrt{k\,m}}{5}\,.

Resposta

(a) \displaystyle \omega_{\max}\approx1{,}005\,\omega_{1}
(b) \displaystyle Q=5
(c) \displaystyle b=\frac{m\,\omega_{1}}{5}=\frac{\sqrt{k\,m}}{5}

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