Um corpo de massa 36 g move-se em MHS com amplitude A=13 cm e período T=12 s. No tempo t=0, o deslocamento x é +13 cm (a) Ache a velocidade quando x=5cm.

Passo 1

Vamos resolver um problema de Movimento Harmônico Simples (MHS). Temos um corpo com massa de 36 g que se move com uma amplitude de 13 cm e um período de 12 segundos. No instante inicial (t = 0), o deslocamento x é +13 cm. Nosso objetivo é encontrar a velocidade do corpo quando x for igual a 5 cm.

Passo 2

No MHS, a posição do corpo em função do tempo é dada pela fórmula:
x(t) = A cos(omega t + phi)
Onde:
  • é a amplitude,
  • é a frequência angular,
  • é a fase inicial.

Passo 3

A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja:
v(t) = dxdt = -A omega sin(omega t + phi)

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar a frequência angular omega = 2piT . Ela está relacionada ao período omega = 2pi12 = pi6 , rad/s pela fórmula:
Substituindo o valor do período :

Passo 5

No instante inicial (t = 0), o deslocamento 13 = 13 cos(phi) . Vamos usar isso para encontrar a fase inicial cos(phi) = 1 Rightarrow phi = 0 :

Passo 6

Agora que sabemos que v(t) = -A omega sin(omega t) , a equação da velocidade fica:

Passo 7

Queremos encontrar a velocidade quando 5 = 13 cos(pi6 t) . Primeiro, vamos usar a equação da posição para encontrar o tempo cos(pi6 t) = 513 correspondente:
pi6 t = cos^-1(513)
t = 6pi cos^-1(513)

Passo 8

Agora, substituímos v(t) = -13 cdot pi6 sin(pi6 cdot 6pi cos^-1(513)) na equação da velocidade:
v(t) = -13 cdot pi6 sin(cos^-1(513))
Simplificando:

Passo 9

Sabemos que sin(cos^-1(513)) = raiz1 - (513)^2 = raiz144169 = 1213 . Portanto:

Passo 10

Substituindo de volta na equação da velocidade:
v(t) = -13 cdot pi6 cdot 1213 = -pi6 cdot 12 = -2pi , cm/s

Resposta

A velocidade do corpo quando é de .

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