A equação geral do MHS,
, pode ser escrita em uma forma equivalente
. Encontrar as expressões para as amplitudes B e C em termos da amplitude A e do ângulo de fase inicial
.
4. Um corpo oscila com movimento harmônico simples de amplitude 15 cm e frequência de 4,0 Hz. Calcular:
a) Os valores máximos da aceleração e velocidade.
4. Um corpo oscila com movimento harmônico simples de amplitude 15 cm e frequência de 4,0 Hz. Calcular:
a) Os valores máximos da aceleração e velocidade.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão. A gente tem um corpo que está oscilando com um Movimento Harmônico Simples (MHS) com uma amplitude de 15 cm e uma frequência de 4,0 Hz. A tarefa aqui é calcular os valores máximos da aceleração e da velocidade desse corpo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é Movimento Harmônico Simples. No MHS, a posição do objeto varia de acordo com uma função senoidal ou cossenoidal no tempo. As principais características desse movimento são a amplitude (a máxima distância que o objeto alcança a partir da posição de equilíbrio) e a frequência (quantas oscilações completas o objeto faz por segundo).
Passo 3
Para encontrar a velocidade e a aceleração máximas, precisamos das fórmulas que relacionam essas grandezas com a amplitude e a frequência do movimento.
A velocidade instantânea em um MHS é dada por:
A aceleração instantânea é:
Onde:
- $ A $ é a amplitude,
- $ \omega $ é a frequência angular,
- $ \theta_0 $ é a fase inicial.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular a velocidade máxima. Observamos que o cosseno varia entre -1 e 1, então a velocidade máxima ($ v_{max} $) ocorre quando $ \cos(\omega t + \theta_0) = 1 $:
Passo 5
Agora, para a aceleração máxima. O seno também varia entre -1 e 1, então a aceleração máxima ($ a_{max} $) ocorre quando $ \sin(\omega t + \theta_0) = 1 $:
Passo 6
Precisamos calcular $ \omega $, a frequência angular, que está relacionada à frequência $ f $ pela fórmula:
Com $ f = 4,0 $ Hz:
Passo 7
Agora, substituímos os valores de $ A $ e $ \omega $ nas fórmulas das velocidades e acelerações máximas. Lembrando que $ A = 15 $ cm = 0,15 m.
Para a velocidade máxima:
Para a aceleração máxima:
Resposta
A velocidade máxima é aproximadamente $ 3{,}77 , m/s $ e a aceleração máxima é aproximadamente $ 30{,}16 , m/s^2 $.