A equação geral do MHS, x(t)=A cos (omega t+theta0), pode ser escrita em uma forma equivalente x(t)=B sin (omega0 t)+C cos (omega0 t). Encontrar as expressões para as amplitudes B e C em termos da amplitude A e do ângulo de fase inicial theta0.
4. Um corpo oscila com movimento harmônico simples de amplitude 15 cm e frequência de 4,0 Hz. Calcular:
a) Os valores máximos da aceleração e velocidade.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão. A gente tem um corpo que está oscilando com um Movimento Harmônico Simples (MHS) com uma amplitude de 15 cm e uma frequência de 4,0 Hz. A tarefa aqui é calcular os valores máximos da aceleração e da velocidade desse corpo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é Movimento Harmônico Simples. No MHS, a posição do objeto varia de acordo com uma função senoidal ou cossenoidal no tempo. As principais características desse movimento são a amplitude (a máxima distância que o objeto alcança a partir da posição de equilíbrio) e a frequência (quantas oscilações completas o objeto faz por segundo).

Passo 3

Para encontrar a velocidade e a aceleração máximas, precisamos das fórmulas que relacionam essas grandezas com a amplitude e a frequência do movimento.
A velocidade instantânea em um MHS é dada por:
v(t) = dxdt = A omega cos(omega t + theta0)
A aceleração instantânea é:
a(t) = d^2xdt^2 = -A omega^2 sin(omega t + theta0)
Onde:
  • $ A $ é a amplitude,
  • $ \omega $ é a frequência angular,
  • $ \theta_0 $ é a fase inicial.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a velocidade máxima. Observamos que o cosseno varia entre -1 e 1, então a velocidade máxima ($ v_{max} $) ocorre quando $ \cos(\omega t + \theta_0) = 1 $:
vmax

Passo 5

Agora, para a aceleração máxima. O seno também varia entre -1 e 1, então a aceleração máxima ($ a_{max} $) ocorre quando $ \sin(\omega t + \theta_0) = 1 $:
amax

Passo 6

Precisamos calcular $ \omega $, a frequência angular, que está relacionada à frequência $ f $ pela fórmula:
omega
Com $ f = 4,0 $ Hz:
f

Passo 7

Agora, substituímos os valores de $ A $ e $ \omega $ nas fórmulas das velocidades e acelerações máximas. Lembrando que $ A = 15 $ cm = 0,15 m.
Para a velocidade máxima:
A
Para a aceleração máxima:
omega

Resposta

A velocidade máxima é aproximadamente $ 3{,}77 , m/s $ e a aceleração máxima é aproximadamente $ 30{,}16 , m/s^2 $.

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