Uma corpo de massa 1 kg é presa por uma mola e oscila em um movimento unidimensional de acordo com a equação
em que
é medido em metro e
em segundo. Determine: A posição do corpo no instante igual a 10 s.
h) A posição do corpo no instante inicial.
h) A posição do corpo no instante inicial.
Passo 1
Entendendo o Problema e os Conceitos Envolvidos
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um corpo de massa 1 kg preso a uma mola que oscila de acordo com a equação:
Aqui, $ x(t) $ representa a posição do corpo em metros no tempo $ t $ em segundos. Precisamos determinar:
- h) A posição do corpo no instante inicial ($ t = 0 $ segundos).
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre movimentos oscilatórios e como utilizar funções trigonométricas para descrever a posição ao longo do tempo.
Passo 2
Relembrando Movimentos Oscilatórios e Funções Trigonométricas
Um movimento oscilatório é aquele onde o objeto se move para frente e para trás em torno de uma posição de equilíbrio. A posição desse objeto em qualquer instante pode ser descrita por funções trigonométricas como seno ou cosseno.
A equação dada é uma função seno que descreve a posição $ x(t) $ em função do tempo $ t $. A forma geral de uma função seno para movimentos oscilatórios é:
Onde:
- $ A $ é a amplitude da oscilação (a máxima distância do ponto de equilíbrio).
- $ \omega $ é a frequência angular.
- $ \phi $ é a fase inicial (que determina a posição no instante $ t = 0 $).
No nosso caso, a equação é:
Aqui, a amplitude $ A $ é 1 (já que não está multiplicando a função seno), a frequência angular $ \omega $ é $ \pi $ rad/s, e a fase inicial $ \phi $ é $ -\frac{\pi}{2} $.
Passo 3
Calculando a Posição no Instante Inicial ($ t = 0 $)
Vamos calcular a posição do corpo no instante inicial, ou seja, quando $ t = 0 $. Substituímos $ t = 0 $ na equação dada:
Agora, precisamos calcular o valor de $ \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) $.
Sabemos que:
Então,
E sabemos que:
Portanto,
Passo 4
Concluindo a Posição no Instante Inicial
Com isso, temos:
Resposta
A posição do corpo no instante inicial ($ t = 0 $ segundos) é -1 metro.