Uma corpo de massa 1 kg é presa por uma mola e oscila em um movimento unidimensional de acordo com a equação
x(t)=sen(pi t-pi2)
em que x é medido em metro e t em segundo. Determine: A posição do corpo no instante igual a 10 s.
h) A posição do corpo no instante inicial.

Passo 1

Entendendo o Problema e os Conceitos Envolvidos
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um corpo de massa 1 kg preso a uma mola que oscila de acordo com a equação:
x(t) = sin(pi t - pi2)
Aqui, $ x(t) $ representa a posição do corpo em metros no tempo $ t $ em segundos. Precisamos determinar:
  • h) A posição do corpo no instante inicial ($ t = 0 $ segundos).
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre movimentos oscilatórios e como utilizar funções trigonométricas para descrever a posição ao longo do tempo.

Passo 2

Relembrando Movimentos Oscilatórios e Funções Trigonométricas
Um movimento oscilatório é aquele onde o objeto se move para frente e para trás em torno de uma posição de equilíbrio. A posição desse objeto em qualquer instante pode ser descrita por funções trigonométricas como seno ou cosseno.
A equação dada é uma função seno que descreve a posição $ x(t) $ em função do tempo $ t $. A forma geral de uma função seno para movimentos oscilatórios é:
x(t)
Onde:
  • $ A $ é a amplitude da oscilação (a máxima distância do ponto de equilíbrio).
  • $ \omega $ é a frequência angular.
  • $ \phi $ é a fase inicial (que determina a posição no instante $ t = 0 $).
No nosso caso, a equação é:
t
Aqui, a amplitude $ A $ é 1 (já que não está multiplicando a função seno), a frequência angular $ \omega $ é $ \pi $ rad/s, e a fase inicial $ \phi $ é $ -\frac{\pi}{2} $.

Passo 3

Calculando a Posição no Instante Inicial ($ t = 0 $)
Vamos calcular a posição do corpo no instante inicial, ou seja, quando $ t = 0 $. Substituímos $ t = 0 $ na equação dada:
t = 0
Agora, precisamos calcular o valor de $ \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) $.
Sabemos que:
t = 0
Então,
t = 0
E sabemos que:
x(0) = sin(pi cdot 0 - pi2) = sin(0 - pi2) = sin(-pi2)
Portanto,
sin(-pi2)

Passo 4

Concluindo a Posição no Instante Inicial
Com isso, temos:
x(0) = -1 metro

Resposta

A posição do corpo no instante inicial ($ t = 0 $ segundos) é -1 metro.

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