Uma corpo de massa 1 kg é presa por uma mola e oscila em um movimento unidimensional de acordo com a equação
x(t)=sen(pi t-pi2)
em que x é medido em metro e t em segundo. Determine: Determine as constantes A e B se a equação acima estiver escrita na forma
x(t)=A cos (omega0 t)+B sen(omega0 t)
f) A amplitude do movimento.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de movimento oscilatório. Um corpo de massa 1 kg está preso numa mola e oscila seguindo a equação:
x(t) = sin(pi t - pi2)
Queremos descobrir a amplitude desse movimento. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre movimentos harmônicos e como a amplitude se relaciona com a equação que descreve o movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a amplitude de um movimento oscilatório é a máxima distância que o objeto alcança a partir da posição de equilíbrio. Matematicamente, se a equação do movimento está na forma:
x(t) = A cos(omega0 t) + B sin(omega0 t)
A amplitude $ \mathcal{A} $ pode ser calculada usando a fórmula:
A
Então, precisamos identificar os valores de $ A $ e $ B $ na nossa equação original para usar essa fórmula.

Passo 3

Vamos comparar as duas equações para encontrar $ A $ e $ B $. A equação que temos é:
A
Podemos usar a identidade trigonométrica:
B
Aplicando isso na nossa equação:
x(t) = sin(pi t - pi2)
Agora, nossa equação está na forma:
sin(theta - pi2) = -cos(theta)
Comparando os dois:
  • $ A = -1 $
  • $ B = 0 $

Passo 4

Agora que temos $ A = -1 $ e $ B = 0 $, vamos usar a fórmula da amplitude:
A = -1

Resposta

A amplitude do movimento é 1 metro.

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